Prueba $X_i$ en lapso de $ X_k, k \neq i$

Question

Deje $(\Omega,\mathcal F, P)$ ser un espacio de probabilidad y deje $L_1$ ser la colección de todos los integrable finito (expectativa) real con valores de variables aleatorias definidas en este espacio. Suponga que para $X_k\in L_1,k=1,2,\dots n$ sostiene que $\mathbb E \lvert \sum_k a_k^m X_k \rvert \leq 1,\forall m$ donde $(a_1^m,a_2^m,\dots,a_n^m)=:a_m$ es una secuencia en $\mathbb R^n$ tal que $\max_k \lvert a_k^m \rvert\to \infty, m \to \infty.$ Demostrar que $\exists i$ y los números reales $b_k$ tal que $\mathbb E \lvert X_i - \sum_{k\neq i} b_k X_k \rvert=0$.

Tenga en cuenta que esto está relacionado con la tarea.

He intentado varias cosas pero no se puede precisar donde puedo fallar. He intentado utilizar la contradicción y Fatou para mostrar que no es un conjunto de cero medida donde la $\lim \inf$ es infinito, pero no logran convencer a mí mismo. También traté de argumentar mediante la estandarización de todos los coeficientes por el $\max$, lo $\mathbb E \lvert \sum_k \alpha_k^m X_k \rvert\to0$ donde al menos uno de $\alpha_k^m \in \{ -1,1\},\forall m$ pero no podía convencerme de que esto es útil. Desde aquí también probé con el hecho de que hay una larga convergencia casi seguramente a cero.

En resumen, estoy en una pérdida por dónde empezar. Me siento como que he probado todas las herramientas estándar de la maestría en probabilidad, por supuesto, pero no estoy haciendo progresos. Estoy buscando un puntero en la dirección correcta. El objetivo general es demostrar que el intervalo de número finito de r integrable.v.s es un conjunto cerrado, pero este es un paso más en el camino.

Answer 1

Basado en @whuber de la pista, se me ocurrió la siguiente. Por favor, hágamelo saber si he cometido un error en alguna parte.

Deje $\alpha^{m}:=\left(a_{1}^{m},\dots, a_{n}^{m}\right)/\left\Vert \left(a_{1}^{m},\dots\,a_{n}^{m}\right)\right\Vert$. Ya que cada secuencia delimitada en $\mathbb{R}^{n}$ tiene un convergentes sub-secuencia (Bolzano-Weierstrass), podemos recoger $m_{l}:\alpha^{m_{l}}\to b$ algunos $b\in\mathbb{R}^{n}$. A continuación, $\sum_{k}\alpha_{k}^{m_{l}}X_{k}\to\sum_{k}b_{k}X_{k}$ pointwise. Por supuesto también tenemos $$ \mathbb{E}\left|\sum_{k}\alpha_{k}^{m_{l}}X_{k}\right|\leq1/\left\Vert a^{m_{l}}\right\Vert \to0 $$

Desde $\sum_{k}\mathbb{E}\left|X_{k}\right|<\infty$ $\left|\sum_{k} \alpha_{k}^{m_{l}}X_{k}\right|\leq\sum_{k}\left| \alpha_{k}^{m_{l}}X_{k}\right|\leq\sum_{k}\left|X_{k}\right|$ dominado la convergencia se obtiene: $$0=\lim_{l\to\infty}\mathbb{E}\left|\sum_{k} \alpha_{k}^{m_{l}}X_{k}\right|=\mathbb{E}\left|\sum_{k}b_{k}X_{k}\right|,$$ que es lo que queríamos demostrar (sobre la normalización de $b$, de modo que $b_k=1$ durante al menos un $k$).