Vale la pena examinar cómo llegaste a tu incorrecto ecuación
$$\int_a^b f(x) \, dx = \sum_{c \in [a,b]} \int_c^c f(x) \, dx.$$
No es correcta la ecuación a lo largo de estas líneas:
$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx, \qquad (1)$$
donde $c \in [a,b]$ es cualquier número (también, no tiene que ser en $[a,b]$). Usted puede tener internalizado este como "si usted divide un intervalo, entonces dividir la correspondiente integral". Este es un buen tipo de lema a tener, pero es definitivamente una generalización de la ecuación (1) en lugar de ser exactamente el mismo. Todo lo que puedes hacer con (1) se aplica repetidamente:
$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^b f(x) \, dx
= \int_a^c f(x) \, dx + \int_c^d f(x) \, dx + \int_d^b f(x) \, dx
= \dots,
$$
donde cada paso sucesivo añade un punto más de la división de la integral. El uso de la inducción se puede demostrar que (1) funciona con finitely muchos términos, pero lo normal inducción no le permite continuar con el "infinito paso", así que usted no consigue nada de su ecuación.
Ahora, si quieres ir un poco más profundo en esta pregunta, usted puede aprender sobre la inducción transfinita y me pregunto por qué no se puede introducir a través de la ordinal $\omega$ para llegar a la "infinita paso". De hecho, usted puede intentar, pero implica un total de operación diferente de simplemente "añadir un punto más", porque $\omega$ es un ordinal límite, en lugar de un sucesor, y no tiene predecesor inmediato de que se trata de "uno más". En consecuencia, la coincidencia de inducción paso requerirá de algún tipo de limitación de la operación, y así, uno por culpa de las integrales de Riemann es que no siempre interoperar con límites muy bien.
Aquí es un análogo de (1) para hacer una contables subdivisión:
La proposición: Vamos a $c_1, c_2, \dots \in [a,b]$ será cada vez más una secuencia de countably infinitamente en muchos puntos, y supongamos que $f(x)$ es integrable en a $[a,b]$. Entonces tenemos
$$\int_a^b f(x) \, dx = \int_a^{c_1} f(x) \, dx + \sum_{n = 1}^\infty \int_{c_n}^{c_{n + 1}} f(x) \, dx + \int_{\sup c_n}^b f(x) \, dx.$$
Tenga en cuenta que tengo que introducir el supremum $\sum c_n$ en la ecuación simplemente ser capaz de escribir la fórmula, porque la secuencia de $c_n$'s no tiene un máximo de plazo, pero necesito comenzar la última integral "justo después de" el final de los otros.
Para probar esto, usted puede usar el siguiente truco, es común en los análisis real: vamos a
$$\chi_{[s,t]}(x) = \begin{cases} 1 & x \in [s,t] \\ 0 & x \notin [s,t] \end{cases}$$
el "indicador de función" (o función característica, por lo tanto la letra) de un intervalo de $[s,t]$. Entonces si, por ejemplo, $[s,t] \subset [a,b]$ hemos
$$\int_s^t f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \chi_{[s,t]}(x) \, dx$$
y
$$\chi_{[a,c_1]}(x) + \sum_{n = 1}^m \chi_{[c_n,c_{n + 1}]}(x) = \chi_{[a,c_m]}.$$
La combinación de estos dos es:
$$\begin{align}\int_a^{c_m} f(x) \, dx
&= \int_a^b f(x) \chi_{[a,c_m]}(x) \, dx \\
&= \int_a^b f(x) \left(\chi_{[a,c_1]}(x) + \sum_{n = 1}^m \chi_{[c_n,c_{n + 1}]}(x)\right) \, dx \\
&= \int_a^b f(x) \chi_{[a,c_1]}(x) \, dx
+ \sum_{n = 1}^m \int_a^b f(x) \chi_{[c_n,c_{n + 1}]}(x) \, dx \\
&= \int_a^{c_1} f(x) \, dx + \sum_{n = 1}^m \int_{c_n}^{c_{n + 1}} f(x) \, dx.
\end{align}$$
que es más o menos la finitely-muchos de los puntos de la versión de la ecuación (1). Pasar de $m$ $m + 1$es "añadir un punto más". Pero, ¿cómo reunir todos estos resultados en una versión con $m \to \infty$? Dejando $m \to \infty$ requiere de las siguientes manipulaciones:
$$\begin{align}\int_a^b f(x) \, dx
&= \int_a^b f(x) \chi_{[a,b]}(x) \, dx \\
&= \int_a^b f(x) \left(\chi_{[a,c_1]}(x) + \sum_{n = 1}^\infty \chi_{[c_n,c_{n + 1}]}(x) + \chi_{[\sup c_n,b]}(x) \right) \, dx \\
&\overset?= \int_a^b f(x) \chi_{[a,c_1]}(x) \, dx
+ \sum_{n = 1}^\infty \int_a^b f(x) \chi_{[c_n,c_{n + 1}]}(x) \, dx
+ \int_a^b f(x) \chi_{[\sup c_n,b]}(x) \, dx\\
&= \int_a^{c_1} f(x) \, dx + \sum_{n = 1}^\infty \int_{c_n}^{c_{n + 1}} f(x) \, dx + \int_{\sup c_n}^b f(x) \, dx.
\end{align}$$
La cuestionable paso es: ¿cómo se puede romper una integral de una suma de infinitamente muchos términos? Por supuesto, tenemos
$$\sum_{n = 1}^\infty = \lim_{m \to \infty} \sum_{n = 1}^m,$$
así que la pregunta es, realmente, "¿cómo se puede intercambiar un límite con una integral?". En la integración de Riemann a menudo no hay manera; con la integral de Lebesgue, una versión más sofisticada, hay teoremas tales como el Teorema de Convergencia Dominada (que se aplica aquí) que le va a permitir.
Sin embargo, su ecuación es aún peor: se ha uncountably muchas piezas. Incluso el Teorema de Convergencia Dominada no va a ayudar, ya que sólo se aplica a countably muchos términos. Y como has observado, si la ecuación trabajado, a continuación, la integración no iba a funcionar, así que esto es realmente algo de un carácter diferente de un contable de split. En suma, de dar el salto finito de sumas infinitas sumas de dinero no es tan sencillo como simplemente sustituyendo el índice de la sumatoria de firmar.
