¿Qué son los logaritmos?

Question

He oído hablar de los logaritmos, y he investigado muy poco. De esa pequeña investigación descubrí que está en álgebra 2. Lamentablemente, voy a entrar en el 9º grado, pero estoy aprendiendo [¿calculo?] y no sé lo que es un logaritmo. Ahora lo encuentro en muchos sitios. Considero que es importante saber lo que es un logaritmo, aunque en cierto modo me estoy adelantando. Mi comprensión de los conceptos, es igual que la de la programación. Mientras tanto, sabes que está ahí, y te pica el gusanillo de saber qué es, pero ¡no! Por ahora lo usamos, mañana aprendemos lo que hace.

Sólo sé que para identificar un logaritmo a mi nivel, sólo busco un tronco. :P

Answer 1

Si sabes lo que es una función de potencia:

$$a^b=c$$

se puede optar por resolver $a$ o $b$ . Si quieres $a$ , toma $b$ -en la raíz en ambos lados:

$$a=\sqrt[b]{c}$$

Imagina $b=2$ .

Sin embargo, si quiere conseguir $b$ , se toma el logaritmo:

$$b=\log_{a}c$$

Aquí, he utilizado el logaritmo con base $a$ . Los logaritmos de diferentes bases están relacionados: son múltiplos simples unos de otros. Los logaritmos comunes son $\log_{10}$ (se suele omitir la base), y el logaritmo natural ( $\log_e x=\ln x$ ) que es una función que se comporta muy bien cuando se avanza en el cálculo.

El significado numérico de logaritmo puede entenderse aproximadamente así: la parte entera del valor de $\log_{10} x$ cuenta el número de dígitos en $x$ . Por ejemplo

$$\log 1=0$$ $$\log 10=1$$ $$\log 100=2$$ $$\log 1000=3$$

y así sucesivamente. Por supuesto, se puede evaluar algo como $$\log 500=2.69...$$ $$\log 0.05=-1.30...$$

El resto de las propiedades se desprenden de la definición que invierte $a^b=c$ . Por ejemplo, el logaritmo de un producto puede dividirse en suma de logaritmos:

$$\log{ab}=\log a + \log b$$

En definitiva, es una función elemental más, como las raíces, los polinomios, etc.

Answer 2

• a ++ $=$ ++ a por lo que el incremento tiene una única operación inversa, la disminución.

• El incremento repetido es la adición.

• $a+b=b+a$ por lo que la suma tiene una única operación inversa, la resta.

• La suma repetida es una multiplicación.

• $a\cdot b=b\cdot a$ por lo que la multiplicación tiene una única operación inversa, la división.

• La multiplicación repetida es la exponenciación.

• Pero $a^b\neq b^a$ $\big($ normalmente $\big)$ , por lo que la exponenciación no tiene sólo una, sino dos operaciones inversas: extracción de raíces $\big($ cuando se conoce el exponente, y queremos averiguar el valor de la base $\big)$ y logaritmos $\big($ para el caso contrario: es decir, cuando se conoce la base y se quiere averiguar el valor del exponente $\big)$ .

Answer 3

Los logaritmos son la inversa de la exponenciación. En pocas palabras, $\log_a(k)$ es la solución de la ecuación

$$a^x=k$$

Aquí $a$ se llama la "base" del logaritmo.

Obviamente, $k\gt0$ y, por tanto, los logaritmos de los números negativos no están definidos, siempre que se trate del conjunto de los números reales. También $1^x=k$ no tendrá soluciones para $k\ne1$ Por lo tanto $a$ no debe ser igual a $1$ .

$(-1)^x$ (o cualquier otra base negativa) no está bien definida para la no integral $x$ y por lo tanto $a\gt0$ .

Esto establece algunas restricciones en el dominio de $\log$

• $a\ne1$
• $k\gt0$
• $a\gt0$

$\log_e(x)$ se llama logaritmo natural, a veces abreviado como $\ln(x)$ o simplemente $\log(x)$

Answer 4

La función cuyos valores en $x$ son $c\log{x}$ donde $c$ es una constante es la función más general que satisface, para todo positivo $x$ y $y$ la identidad

$$h(x)+h(y)=h(xy)$$

Dejemos que $x\to e^x$ y $y\to e^y$ entonces tenemos $h(e^x)+h(e^y)=h(e^xe^y)=h(e^{x+y})$

Dejemos que $H(u)=h(e^u)$ entonces tenemos $H(x)+H(y)=H(x+y)$ .

Dejemos que $x=y$ entonces tenemos $2H(x)=H(2x)\implies H(x)=\frac{1}{2}H'(2x)$ .

La diferenciación da $H'(x)=H'(2x)$ .

La diferenciación repetida da la fórmula general, $H^{(n)}(x)=2^{n-1}H^{(n)}(2x)$ para $n\ge0$ .

Dejemos que $x=0$ entonces tenemos $(2^{n-1}-1)H^{(n)}(0)=0$

Así que $H^{(n)}(0)=0$ para todos los enteros $n\ne 1$ .

Al considerar la serie Maclaurin para $f(x)$ encontramos que la función más general que satisface $H(x)+H(y)=H(x+y)$ es $cx$ donde $c$ es una constante.

Así que $h(e^x)=cx$ . Dejar $x\to \log{x}$ encontramos que la función más general que satisface la ecuación de la función original es $c\log{x}$ .

Answer 5

Es curioso cómo las cosas cierran el círculo...

Los logaritmos surgen como un orden natural dentro del subconjunto de todos los números como la inversa de la exponenciación. Si la exponenciación es una multiplicación repetida, los logaritmos son una división repetida. Cuando este tipo de números apareció por primera vez Se llamaba logaritmo El número de la proporción fue inventado por John Napier y Henry Briggs a finales del siglo XVI y principios del XVII.

Desde una perspectiva natural, los logaritmos describen un patrón de crecimiento en general, o pueden describir una escala como el pH.

Por último, desde la perspectiva de las representaciones de las cantidades en sí, los logaritmos describen directamente la naturaleza de una representación particular de las cantidades de una base determinada. Cada número puede representarse en cualquier base como la suma de potencias únicas de bases. La base dos, la base comúnmente utilizada para representar cantidades en los ordenadores, es la suma de $n$ dígitos que corresponden a la suma, $2^0 + 2^1 + 2^2 +...+ 2^n = \sum_{k=0}^{n}{2^n}$ , por ejemplo; sin embargo, esto se puede generalizar a todas las representaciones de números en cualquier base con base $b$ y longitud digital $n$ como

$$\sum_{k=0}^{n}{b^k}$$