Antiderivada de $\frac{1}{\ln(x)}$ ?

Question

Estuve buscando en la wikipedia, y encontré que la siguiente expresión no se puede expresar en términos de funciones elementales:

$$\int\frac{1}{\ln(x)}\text{d}x$$

Aunque la función parece sencilla, ¿por qué es imposible expresarla en términos de funciones elementales?

Answer 1

Se puede demostrar que esta antiderivada no es elemental utilizando el álgebra diferencial (en particular el teorema de Rothstein-Trager). El hecho es que, al contrario de lo que se ve en la mayoría de los cursos de cálculo de primer año, la "mayoría" de las funciones elementales no tienen antiderivadas elementales.

Answer 2

No, se trata de una función especial muy conocida (¡para los que la conocen!), llamada función integral logarítmica , $\text{li}(x)$ .

A veces esto ocurre con funciones que nos interesan y eso hace que funciones especiales bueno, especial . Esta es una lista de otras integrales populares/útiles que dan lugar a funciones especiales.

Answer 3

En primer lugar, cuando los matemáticos dicen que una función es integrable, sólo quieren decir que la integral está bien definida, es decir, que la integral tiene sentido matemático.

En la práctica, la integrabilidad depende de la continuidad: si una función es continua en un intervalo dado, es integrable en ese intervalo. Además, si una función sólo tiene un número finito de algunos tipos de discontinuidades en un intervalo, también es integrable en ese intervalo.

En términos generales, la integral es el límite de las sumas de Riemann de una función a medida que las particiones se hacen más finas. Si el límite existe, se dice que la función es integrable (o, más concretamente, integrable por Riemann) La suma de Riemann es una aproximación que toma la forma Σ f(x)*Δx.La suma se calcula dividiendo la región en formas (rectángulos), trapecios), (parábolas) o (cúbicos) que juntos forman una región que es similar a la región que se está midiendo, luego se calcula el área para cada una de estas formas, y finalmente se suman todas estas pequeñas áreas. Este enfoque puede utilizarse para encontrar una aproximación numérica para una integral definida, incluso si el teorema fundamental del cálculo no facilita la búsqueda de una solución de forma cerrada.( es una simple aplicación de integrales definidas para encontrar el área bajo la curva ) En realidad 1/lnx no es una forma cerrada aquí está el maravilloso artículo sobre la forma cerrada descripción de la forma cerrada Como I/lnx no es de forma cerrada, no es una función elemental, por lo que ingenuamente se puede decir que no tiene antiderivada elemental