He visto la definición de una forma modular, pero parece oscuro para mí. Tengo la impresión de si tuviera que leer mucho acerca de ellos, finalmente vería cómo puede utilizarse. Tengo curiosidad sobre las formas en que se aplican formas modulares. ¿Cómo se usan? ¿Cuáles son algunos teoremas importantes de interés intrínseco que puede obtenerse (relativamente fácil) por usarlos? ¿Hay alguno que debo mirar en particular?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Una de las aplicaciones más sencillas (y más rápida para llegar a) es la representación de los números de las formas cuadráticas. E. g. La fórmula de Jacobi, que el número de de formas de escribir un número natural $n$ como la suma de cuatro cuadrados es igual a $8 \sum_{d|n, 4 \not\mid d} d$, fue originalmente demostrado el uso de las formas modulares, y creo que este es todavía el método más versátil de la prueba.
Para obtener más general cuadrática formas, uno no puede necesariamente tener como fórmulas precisas (los llamados cuspforms introducir los términos de error que no admiten fórmulas explícitas), pero uno se aproximaciones (y la Ramanujan--Petersson conjetura sobre el crecimiento de Fourier coeffs. de cuspforms juega un papel importante en la delimitación de los términos de error que viene de cuspforms).
Algo de esto (aunque no Jacobi fórmula de la misma) puede ser encontrado en Serre del Curso de aritmética, que es el mejor tratamiento para un principiante.
También hay las aplicaciones a la teoría de curvas elípticas (y luego a FLT) se menciona en los comentarios. Por ejemplo, los mejores resultados en la dirección de BSD (como Bruto--Zagier, o Kato resultados) se basan en la conexión entre las formas modulares y curvas elípticas.
