Vale, entiendo que cuando la integración se hace de izquierda a derecha con respecto a x aumentando de izquierda a derecha (dx es positivo), que la respuesta es positiva, y viceversa cuando se integra de derecha a izquierda. Pero, como control de la realidad, hay algo que nunca he entendido (o, entendiendo, me parece tan contraintuitivo como para querer cuestionarlo): Interpretando el resultado como área, una misma área es positiva o negativa no dependiendo de lo que sea, sino de cómo se cuente. Reconozco que es una extensión lógica de, por ejemplo, -1 frente a +1 en la recta numérica, ¡pero al menos -1 y +1 ocupan posiciones diferentes! Siempre que he sacado este tema, suelo recibir miradas vacías, en plan "¿cómo puedes ser tan estúpido?" o "¡eh!", pero, evidentemente, eso no evita que me moleste, así que lo preguntaré aquí... ¡una vez más! Para mí, aparte de lo que requiere la mecánica de la integración, un "posicionamiento" más lógico del área negativa sería su reflejo a través del eje x.
Respuestas
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En resumen, la respuesta a su pregunta es simplemente una cuestión de convención.
Supongamos que tenemos un rectángulo de altura $4$ cuya base se encuentra en el $x$ -eje, comenzando en $x=2$ y terminando en $x=2.5$ . Si te pidiera que encontraras el área de este rectángulo, probablemente harías el siguiente cálculo:
$$4\cdot(2.5-2)=2\tag{$ * $}$$
y tendrías razón. Por convención, nuestra recta numérica aumenta a medida que nos movemos hacia la derecha, así que para encontrar el valor positivo de la base del rectángulo, restamos su punto más a la izquierda de su punto más a la derecha. Si cambiamos la convención de nuestra recta numérica, también tendríamos que cambiar nuestra resta para obtener un resultado positivo.
La integral de Riemann se define primero sólo para intervalos $[a,b]$ con $a<b$ (es decir, con $a$ a la izquierda de $b$ ). Esta definición es:
$$\int_a^bf(x)dx=\lim_{|P|\to 0}\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i^*)(x_{i+1}-x_i)$$
donde $|P|$ es la malla de la partición $P=\{x_0,\ldots,x_n\}$ con $a=x_0<x_1<\ldots<x_n=b$ et $x_i<x_i^*<x_{i+1}$ . La motivación de esta definición, y no una en la que tomamos $x_{i}-x_{i+1}$ en la suma se encuentra precisamente en la convención que nos hizo calcular como lo hicimos en $(*)$ . Entonces, habiendo definido la integral de Riemann para intervalos $[a,b]$ , nosotros definir el símbolo $\int_{b}^af(x)dx$ para ser:
$$\int_b^af(x)dx=-\int_a^bf(x)dx$$
Distribuyendo el signo negativo a través de la suma, puedes pensar en esto como si hicieras una definición
$$\int_b^af(x)dx=\lim_{|P|\to 0}\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i^*)(x_{i}-x_{i+1})$$
Sería completamente coherente hacer el cálculo en una recta numérica "invertida", donde los números positivos están a la izquierda de $0$ para que $a<b$ si y sólo si $a$ está a la derecha de $b$ . Entonces podríamos integrar de derecha a izquierda y obtener áreas positivas.
Aunque las integrales pueden explicarse a menudo como "área", te equivocas cuando asumes que la integral es el área. Eso no es cierto. Sí, están relacionadas y los números a veces coinciden.
Pero fíjate en la integral del seno: es cero, aunque las áreas circunscritas son claramente distintas de cero. ¿Te parece bien? Tienes que aceptar que la integral no es un área. Puede comportarse de forma diferente y puede tener diferentes signos.
¿Has tenido física en la escuela? Si estás familiarizado con las energías potenciales, esto podría ayudarte.
Echa un vistazo a esta situación. Objeto con masa $m$ está a la altura $a$ . Se eleva a una mayor altura $b$ . La fuerza de gravedad es $F=mg$ . El sistema objeto-Tierra ha ganado energía potencial adicional: $$\Delta U_1 = \int\limits_a^b mg \mathrm{d}h = mg(b-a)$$
Si, en cambio, el objeto se bajó de b a a, entonces $$\Delta U_2 = \int\limits_b^a mg \mathrm{d}h = mg(a-b) = -\Delta U_1$$
De cualquier manera el cambio en la energía potencial es el conocido $mg\Delta h$ pero el cambio de altura $\Delta h$ es opuesta y también lo es el cambio en la energía potencial. Espero que sea comprensible y esté bien para ti.
Lo que quiero mostrar, es que la integral no es la función de área. Es más bien un operador de acumulación. En el caso de la gravedad acumula energía al vencer la fuerza gravitacional mientras que el argumento $x$ (altura) se modifica. Si se cambia en otra dirección, la situación se vuelve obviamente opuesta.
Sí, si tomas una función positiva y la integras de izquierda a derecha, acumulas área y por tanto obtienes el área. Pero si vas hacia atrás, más bien estás restando esa área, por lo tanto obtienes el signo menos.
Intentaré explicarlo para el Riemann-Intgral: Si miras la definición de R-Integral te darás cuenta de que el término $(a-b)$ juega un papel importante. A saber: $(a-b)/N$ te da la longitud de los intervalos sobre los que se evalúan los valores de la función y luego se suman. Aquí estamos integrando sobre $[a,b]$ . Si invertimos el sentido de la integración, la expresión anterior pasa a ser $(b-a)/N$ que es igual a $-(a-b)/N$ . Informalmente la Integral se da como el valor tomado en el intervalo $(a-b)/N$ veces el Valor que toma en un punto preciso dentro de ese intervalo. Por tanto, si invertimos $a$ y $b$ estos valores se multiplicarán por $-(a-b)/N$ y, por tanto, la integral con $a$ y $b$ invertido se convierte en negativo
