Tenemos una ecuación diferencial $$ y + y' = f(x) $$ y asumir la $f$ es infinitamente diferenciable. Y queremos encontrar la solución particular. Entonces,me puse $$ y_p = f(x)-f'(x)+f"(x)...., $$ es decir, $y_p=\sum_{i=0}^{\infty} (-1)^{n} f^{(n)}(x)$. Es fácil observar este formales suma al parecer es una solución particular y lo que realmente funciona para todo polinomio. Por ejemplo, si $f(x) = x^3$$y_p = x^3 - 3x^2 + 6x - 6$, y es verdad. Pero, al $f(x)=\sin x$ hemos $$ y_p=(1-1+1-1....) \sen x - (1-1+1-1...) \cos x $$ desde $(1-1+1-1..)=\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^n$ es divergente tenemos ningún resultado. Hasta aquí, no hay nada interesante. Euler pensamiento que $\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^n = 1/2$ desde su resultado variación $(1,0,1,0...)$ finitas suma (Que está pensado para ser famoso error de Euler. Por supuesto, nadie lo culpa. En su tiempo, la convergencia no se ha definido exactamente). Pero, si esta suma como $1/2$ como Euler dijo $$ y_p = (\sin x - \cos x)/2 $$ y, sorprendentemente, es realmente la solución particular de $y+y'=\sin(x)$. Por qué funciona? Debemos tomar esta suma como $1/2$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Podríamos justificar de la siguiente manera: Si se sustituye la $(-1)^n$ $q^n$ donde $q\approx -1$ pero $|q|<1$, la serie geométrica converge a $\frac1{1-q}$ y todo es bueno. Sin embargo, si sustituimos $\sum q^nf^{(n)}(x)$ (donde la convergencia no depende de $q$ solo, pero en general también los derivados podría "explotar") en la ecuación diferencial tenemos un casi-solución. O una solución exacta para un poco diferente de la ecuación: $$\tag1y'-qy=f(x).$$ Specifically with $f(x)=\sin(x)$ we can compute the corresponding series and obtain $$\tag2\frac{\sin x+q\cos x}{1+q^2}$$ as solution for $y'-qy=f(x)$. In this form, any special role of $q=-1$ is eliminated (and in fact this even works with $|q|>1$). En otras palabras: el Estiramiento de la validez de los límites, más allá de su "oficial" de dominio de convergencia nos da un resultado correcto aquí porque la serie fue sólo una herramienta y la aparente singularidad de los problemas que se ha vuelto invisible en los resultados finales.
Uno puede decir que no hemos de responder a la pregunta: "¿Qué es $\sum(-1)^n$?" En lugar de eso nos respondió: "Si $\sum(-1)^n$ tiene un valor, lo que debe siempre ser?" Esto conduce a la investigación de summability métodos tales como Cesàro decir. (A la cita de los enlaces de la página de Wikipedia: "cualquier método de la sumación que posee estas propiedades y que asigna un determinado valor a la serie geométrica debe asignar este valor.")
