Me han dicho que los cardenales mensurables son mucho "más grandes" que los cardenales fuertemente inaccesibles. Incluso he oído que el anterior hace la última mirada "pequeño" en comparación. Esto para mí es difícil de visualizar.
¿Hay alguna manera para medir, intuitivamente, cuanto mayor es el cardenal mensurable más pequeño que el más pequeño cardenal fuertemente inaccesible?
¿Además, puede ser probado que el más pequeño cardenal fuertemente inaccesible no es medible?
Aquí hay un sentido en el que al menos medible es mucho más grande que el que menos inaccesible: Vamos a $\kappa$ ser el más pequeño medibles cardenal. Entonces el conjunto de inaccesible cardenales $<\kappa$ tiene el tamaño de $\kappa$. Jech el libro tiene detalles sobre esto (y mucho más) de los resultados.
Permítanme esbozar ¿por qué el menos medibles tiene que ser tan grande. Deje $\kappa$ ser medibles, con un $\kappa$-medida completa $\mathcal{U}$. Se puede considerar que la ultrapower de todo el universo por esta medida, $\prod V/\mathcal{U}$. Esto puede parecer dudoso, pero por Scott el truco de esta estructura, naturalmente, puede ser identificado con un definidos por la clase, por lo que el "$\in$"-relación es de nuevo definible; así podemos hablar de este ultrapower en el universo de los conjuntos.
La estructura de $\prod V/\mathcal{U}$ está bien fundada, ya que $\mathcal{U}$ $\kappa$ - (específicamente, countably -), así que puede tomar su colapso de Mostowski; esto es, tenemos algunos transitiva clase adecuada $M$ tal que $(M, \in)$ es isomorfo a $\prod V/\mathcal{U}$ a través de un mapa de $m$. (De nuevo, estoy barriendo un montón de detalles técnicos debajo de la mesa, pero funciona esto.) La costumbre de la incrustación de una estructura en su propio ultrapower ahora se obtiene un mapa de $j: V\rightarrow M$; este mapa es un elemental de la incrustación.
Por otra parte, este mapa es trivial: $j(\kappa)$ es un ordinal estrictamente mayor que $\kappa$! Y $\kappa$ es el menos cardenal movido (el punto crítico de $j$). A ver que $\kappa$ se mueve, tenga en cuenta que por inducción transfinita, para cada una de las $\alpha<\kappa$ tenemos $j(\alpha)=\alpha$; mientras tanto, considerar el elemento de la ultrapower $x=m([(\alpha)_{\alpha<\kappa}]_{\mathcal{U}})$, el colapso de Mostowski) la clase de equivalencia de la identidad de la secuencia. Por elementarity, $x$ es un ordinal $<j(\kappa)$; pero también se $x>j(\alpha)$ por cada $\alpha<x$, ya que el $\mathcal{U}$ $\kappa$- completa. Por lo $j(\kappa)>\kappa$.
Entonces, ¿qué? Bueno, mucha de la "pequeña" gran cardenal propiedades - inaccesible, débilmente compacto, etc. - se $\Pi_1$. Si $\mu$ algunos $\Pi_1$ propiedad $V$, $\mu$ también tiene esa propiedad en cualquier interior modelo; $\Pi_1$ propiedades son a la baja absoluta. Así que vamos a $\kappa$ ser el menos medibles. Si $\kappa$ también fueron los menos inaccesibles, entonces no sería una contradicción: por elementarity, $M\models$"$j(\kappa$) es el menos inaccesibles," pero por la absolutidad $M\models$"$\kappa$ es inaccesible".
Del mismo modo, el menos medibles no puede ser el segundo débilmente compacto . . . el (menos inaccesible)th débilmente compacto . . . medibles son freakin' ENORME! (Excepto los no tan enorme como, también, la enorme cardenales. :P)
Ver Jech del libro para más detalles.
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