Algunas aclaraciones necesarias sobre la relación entre la derivada Total y derivado direccional

Question

Voy a considerar aquí las funciones de varias variables solamente.

Si tanto la derivada direccional $D_{v}f(x)$ $x$ a lo largo de $v$ y el total derivado $D f(x)$ $x$ existe, $$D_{v}f(x)=Df(x)(v).$$ Existencia de un total de derivados asegura que de derivada direccional en cualquier dirección, pero no al revés.

Hay funciones que tienen, en algún punto del dominio, la derivada direccional en cualquier dirección, pero no diferenciable en ese punto, es decir, el total de la derivada en ese punto no existe.

Ahora, todos los de mi conocimiento es teórico. No puedo ver la imagen claramente, es decir, la imagen de los dos tipos de derivados existentes juntos, o uno existente y no el otro - ¿cómo funcionan?

Me refiero a que una interpretación geométrica para decir $2$ o $3$ dimensiones del espacio de ayuda.

Estoy tan confundido con esta cosa, ni siquiera estoy seguro de si he logrado transmitir mi problema correctamente.

Por favor, ayudar con algunas aclaraciones.

Gracias.

Answer 1

Hay una muy buena discusión de este tema en Matemáticas Visión que podría ser útil. El punto clave de la pregunta es que derivadas direccionales sólo "mirar" a lo largo de líneas rectas, pero el total de derivados (también llamada la diferencial) requiere que usted mire todas las formas de acercarse a la punta. Para una función en la línea real, sólo hay dos maneras de hacer esto-de derecha y de izquierda, pero una vez que usted se mueve a funciones en el plano y más allá, de pronto, hay muchos, muchos caminos disponibles.

Para una superficie de dos dimensiones en tres dimensiones, se puede pensar en el diferencial como especificar el plano tangente a la superficie en un punto. Para el diferencial de existir, los vectores tangente a la superficie en este punto, de todos los suaves caminos a lo largo de la superficie que pasan por el punto debe estar en el mismo plano. Derivadas direccionales corresponden sólo a aquellos caminos cuyas proyecciones sobre el $x$-$y$ plano son líneas rectas. Es claro que hay muchos otros liso rutas a través del punto.

Answer 2

¿Qué tal esto? La función $$f(x,y) = \begin{cases} 1 \text{ if $y = x ^ 2 $ and $x \neq 0 $} \\ 0 \text{ otherwise}\end{cases}$ $

Haz un dibujo. Verás que cada derivado direccional existe y es igual a $0$, pero el plano de $x-y$ no es una buena aproximación para la función $f$ cerca de $(0,0)$.