Prueba $(1-x)\cdot (1-x^2)\cdots(1-x^{n-1})=n$ si $x^n=1$ y $x\neq 1$

Question

Si tenemos una ecuación $x^n=1$, entonces cómo podemos demostrar

$$(1-x)\cdot (1-x^2)\cdots (1-x^{n-1})=n $$

¿cuando $x$ no $1$? ¿Sé que $x= e^{(2\pi + 2k\pi)/n}$ y se puede obtener diferentes valor de $x$ $ k=0,1....,n-1$ pero ampliando nuestro producto será una tarea pesada, existe alguna forma más simple alrededor de?

Answer 1

Si $\xi$ es cualquier primitiva raíz de $n$-th de la unidad, tenemos: $$ \frac{z^n-1}{z-1}=\prod_{k=1}^{n-1}\left(z-\xi^{k}\right)=\prod_{k=1}^{n-1}(1-z \xi^k) \tag{1}$ $ y la demanda (derecha) sigue de teorema De L'Hopital, % computación $\lim_{z\to 1^-}$de ambos lados.