¿Cuál es el significado intuitivo de género?

Question

Leí en la versión finlandesa del libro "Fermat's last theorem, Unlocking the Secret of an Ancient Mathematical Problem", escrito por Amir D. Aczel, que el género describe cuántas asas hay en una superficie dada. Pero ahora he leído la Proposición 4.1 del capítulo 7.4.1 del libro de Qing Liu "Algebraic Geometry and Arithmetic Curves". Supone una curva proyectiva geométricamente integral $X$ sobre un campo tal que el género aritmético de $X$ es $p_a\leq 0$ . Entonces, ¿es mi intuición de que "el género es el número de asas" de alguna manera errónea como $p_a$ ¿puede ser negativo?

Answer 1

Una superficie de Riemann compacta $X$ es en particular una superficie orientable real compacta. Estas superficies se clasifican por su género.
Ese género es, en efecto, el número de asas citadas en la literatura popular; más técnicamente es
$$g(X)=\frac {1}{2}\operatorname {rank} H_1(X,\mathbb Z) = \frac {1}{2}\operatorname {dim} _\mathbb C H^1_{DR}(X,\mathbb C) $$ en términos de homología singular o cohomología de De Rham.

Bajo la presión de la aritmética, los geómetras se han visto impulsados a considerar el análogo de las superficies compactas de Riemann sobre campos $k$ diferente de $\mathbb C$ : curvas algebraicas lisas completas.
Estos tienen un género que debe ser calculado sin topología.

La definición moderna es (para campos algebraicamente cerrados) $$ g(X)=\operatorname {dim} _k H^1(X, \mathcal O_X)= \operatorname {dim} _kH^0(X, \Omega _X)$$ en términos de la cohomología de la gavilla estructural o de la gavilla de formas diferenciales de la curva $X$ .
Por supuesto, este género geométrico es siempre $\geq 0$ .

Existe una noción más general de género aplicable a variedades de mayor dimensión y/o no irreducibles sobre campos no algebraicamente cerrados: el género aritmético definido por $$p_a(X)=(-1)^{dim X}(\chi(X,\mathcal O_X)-1)\quad {(ARITH)}$$ (donde $\chi(X,\mathcal O_X)$ es la característica Euler-Poincaré de la gavilla estructural).
[ Hirzebruch y Serre han defendido, por muy buenas razones, la definición modificada $p'_a(X)=(-1)^{dim X}\chi(X,\mathcal O_X)$ que Hirzebruch utilizó en su innovadora libro y Serre en su fundacional FAC ]

Para curvas proyectivas suaves sobre un campo algebraicamente cerrado $g(X)=p_a(X)\geq 0$ No hay problema.
Sólo en situaciones más generales el género aritmético $p_a(X)$ puede ser, en efecto $\lt 0$

Editar
El ejemplo más sencillo de una variedad reducible con género aritmético negativo es la unión disjunta $X=X_1\bigsqcup X_2$ de dos copias $X_i$ de $\mathbb P^1$ .
La fórmula $(ARITH)$ que se muestra arriba rinde: $p_a(X)=1-\chi(X,\mathcal O_X)=1-(dim_\mathbb C H^0(X,\mathcal O_X)-dim_\mathbb C H^1(X,\mathcal O_X))=1-(2-0)$
para que $$p_a(X)=p_a(\mathbb P^1\bigsqcup \mathbb P^1)=-1\lt0$$