¿Es cada entero no cuadrado una raíz primitiva modulo algún primo impar?

Question

Esta pregunta a menudo viene en mi mente al hacer ejercicios en la escuela primaria de la teoría de números:

Es cada cuadrado entero de una raíz primitiva módulo alguna extraña prime?

Esto haría que muchos de los ejercicios mucho más fácil. Por desgracia, me parece que no se puede descubrir nada interesante que puede conducir a una respuesta.

Parece a mí que esto es cierto. Si $n\equiv2\pmod3$ entonces es una raíz primitiva módulo $3$. Si $n\equiv2,3\pmod5$, es una raíz primitiva módulo $5$. Si hemos de seguir así, mi conjetura es que cualquier no-cuadrado de $n$ satify al menos una de estas congruencias.

Este ser difícil, me empezó a considerar una versión simplificada de la pregunta:

Es cada cuadrado entero de una ecuación cuadrática no-residuo modulo algunos de los mejores?

O, equivalentemente,

Si un entero es un cuadrado modulo cada primo, entonces es un cuadrado de la misma?

La segunda forma parece más fácil acercarse, sin embargo todavía no puedo encontrar nada útil.

Answer 1

Deje $n$ que no sea un cuadrado. Escribir $n=a^2b$ $b\ne 1$ plaza libre. Escribir $b=p_1\cdot\ldots\cdot p_m$ como producto de disctinct primos con $m\ge 1$. Para los números primos $q> n$ el factor de $a^2$ puede ser ignorado, por lo que tenemos que $\left( \frac bq\right)=1$ para casi todos los números primos $q$. De acuerdo a la ley de reciprocidad cuadrática, $ \left(\frac{b}{q}\right)$ está determinado por $q\bmod 8b$. También, hay al menos un residuo $d\bmod 8b$ que $q\equiv d\pmod{8b}$ implica $ \left(\frac{b}{q}\right)=-1$ (por ejemplo, asegurarse de $\left(\frac d{p_1}\right)=-1$ $\left(\frac d{p_i}\right)=+1$ para todos los otros $i$ y utilizar el teorema del resto chino). Especialmente, $d$ es relativamente primer a$8b$, de modo que por Dirichlet existen una infinidad de números primos $q$$q\equiv d\pmod{8b}$. Para tal $q$ $q>n$ llegamos a la conclusión de que $n$ no es un cuadrado modulo $q$.

Answer 2

Su "equivalente" parece ser una cuestión trivial y por lo tanto no son equivalentes.

"Si un entero es un cuadrado modulo cada primo, entonces es un cuadrado de la misma?"

Dado un entero n, existe un primo p > n. Si n es un cuadrado modulo cada primer, incluyendo p, entonces n = n (módulo p) es un cuadrado, entonces n es un cuadrado.

BTW. Me escribió un pequeño programa que comprueba si todos los no-cuadrado entero n <= N es la raíz primitiva módulo de algunos de los mejores p > N, con N = 40 x 10^9. Se encontró que en realidad todos los no-cuadrado n <= N es una raíz primitiva módulo de algunos de los mejores p con N < p <= N + 1357, que es sólo la 55ª edición de prime > N. Esto parece indicar que es más prometedora para buscar una prueba de que para un contraejemplo.