El valor de un Dirichlet $L$ -(y su derivada) en $s=0$

Question

Estoy trabajando con un conjunto de problemas en un curso de teoría analítica de números, y se incluyó el siguiente problema:

Demuestre que si $\chi$ es un carácter Dirichlet no principal $\pmod{m}$ y donde $L(s, \chi)$ es un $L$ -función, entonces $$L(0, \chi) = \frac{-1}{m} \sum_{c=1}^m \chi(c) c,$$ y $$L'(0, \chi) = L(0, \chi) \log m + \sum_{c=1}^m \chi(c) \log \Gamma (\frac{c}{m}).$$

ADVERTENCIA: El profesor que escribe estos problemas tiene la desafortunada costumbre de redactar los problemas de forma incorrecta. Por lo tanto, parte de la "diversión" para los estudiantes que toman el curso es averiguar si el enunciado del problema en sí es correcto, y si no, averiguar cómo modificar el enunciado para que sea viable.

Me pregunto si alguien que esté de visita podría decir si el problema tal y como está planteado es correcto (y si es así, sugerir una estrategia para demostrarlo); si el enunciado es falso, tengo curiosidad por saber si alguien podría sugerir cómo modificar el enunciado para que sea viable, o incluso indicarme la dirección de un texto que contenga un enunciado correcto.

Answer 1

A este problema le faltan algunas cosas. Para conseguir ese tipo de igualdad se necesita $\chi(-1)=-1$ ya que si $\chi(-1)=1$ entonces $L(0,\chi)=0$ . Creo que la pregunta debería ser algo así:

La pregunta: Si $\chi(-1)=-1$ , demuestre que $$L(0,\chi)=\frac{-1}{G(\chi)\sqrt{q}} \sum_{a=1}^q \chi(a)a,$$ donde $G(\chi)$ es la suma de Gauss.

Una pista: ¿Cómo se puede hacer esto? Comience por obtener una expresión para $L(1,\chi)$ cambiando las sumas en la definición de $L(s,\chi)$ con la identidad $$\chi(n)=\frac{1}{G\left(\overline{\chi}\right)}\sum_{a=1}^{q}\overline{\chi}(a)e\left(\frac{an}{q}\right),$$ donde $e(x)=e^{2\pi i x}$ . Hay que tener cuidado al justificar la convergencia. Hay que trabajar y argumentar por qué una determinada suma con el logaritmo de la función sin se cancela. (Esto requiere $\chi(-1)=-1$ y utilizando la simetría) A continuación, aplique la ecuación funcional para $L(s,\chi)$ para conseguir $L(0,\chi)$ de $L(1,\chi)$ . (El $\kappa$ en el $\sin(x)$ factor es lo que provoca $L(0,\chi)=0$ cuando $\chi(-1)=1$ )

Espero que eso ayude.

Answer 2

(Sólo demuestro la fórmula para $L(0,\chi)$ Me gustaría tener algunas pistas para probar $L'(0,\chi)$ sin la ecuación funcional )

Supongamos que $F(s) = \sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$ converge para $Re(s) > 0$ . con $A(x) = \sum_{n \le x} a_n$ :

$$F(s) = s \int_1^\infty A(x) x^{-s-1} dx = s \int_1^\infty \left(\overline{A}+(A(x)-\overline{A})\right) x^{-s-1} dx = \overline{A} + s\int_1^\infty (A(x)-\overline{A}) x^{-s-1} dx$$

Supongamos ahora que $A(x)$ es $q$ periódico, con $\overline{A} = \frac{1}q\int_0^q A(x) dx$ el valor medio de $A(x)$ , $\int_1^\infty (A(x)-\overline{A}) x^{-s-1} dx$ converge para $Re(s) > -1$ y $$F(0)= \overline{A} =\frac{1}q\int_0^q A(x) dx = \frac1q\sum_{n=1}^q (q-n) \ a_n = -\frac1q\sum_{n=1}^q n \ a_n$$ desde $\sum_{n=1}^q a_n = 0$ . (de la misma manera que obtenemos $F'(0) = \int_1^\infty \frac{A(x)-\overline{A}}{x} dx$ )

• si $\chi$ es un carácter no principal módulo $q$ , eligiendo $a_n = \chi(n), F(s) = L(s,\chi)$ produce $A(x) = \sum_{n \le x} \chi(n)$ que es $q$ periódico porque $\sum_{n=1}^q \chi(n) = 0$ por lo que $$L(0,\chi) = -\frac{1}{q}\sum_{n=1}^q n \chi(n)$$

• si $\chi$ es el carácter principal módulo $q$ ( es decir $\chi(n) = 1$ si $gcd(n,q) = 1$ , $\chi(n) = 0$ en caso contrario) obtenemos $L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \chi(n) n^{-s} = \zeta(s) \prod_{p | q} (1-p^{-s})$ y elegir $a_n = (-1)^{n+1}$ produce $F(s) = \eta(s) = (1-2^{1-s})\zeta(s)$ , $A(x)$ es $2$ periódico $$\eta(0) = \overline{A}= -\frac{1}{2}\sum_{n=1}^2 n(-1)^{n+1} = 1/2$$ por lo que $$\zeta(0) = -1/2$$ y si $q \ge 2$ : $$L(0,\chi) = \lim_{s \to 0} \zeta(s) \prod_{p | q} (1-p^{-s}) = \zeta(0) \lim_{s \to 0} \prod_{p | q} (1-p^{-s}) = 0$$ .