Dos preguntas sobre el anillo Grothendieck de variedades

Question

1) En la definición del anillo Grothendieck de variedades sobre un campo$k$, ¿qué definición de las diversas nociones de "variedad" se elige? Tipo finito y separado, o tal vez más?

2) Si$\mathbb{L}$ es la clase de la línea affine en el anillo Grothendieck, ¿la clase de$\mathrm{GL}_n$ equal$(\mathbb{L}^n - 1) \cdot \dotsc \cdot (\mathbb{L}^n - \mathbb{L}^{n-1})$? De alguna manera esto debería ser cierto, pero para esto necesitaría una "relación de fibración", que no parece seguir de la relación de tijera.

Answer 1

Un pequeño comentario que no parece requerir algebraica de los espacios. Todo lo que estoy diciendo aquí he aprendido en este documento.

Básicamente, dado que cualquiera de los dos Zariski fibrations $\pi_i:X_i\to Y$, $i=1,2$, con la misma fibra, $F$, se tiene la relación $[X_1]=[X_2]$ en el anillo de Grothendieck. De hecho, uno puede estratificar la base de $Y=\coprod_j U_j$ (estos $U_j$'s de estar conectado localmente cerrado subvariedades), de modo que $\pi_i:{\pi_i^{-1}(U_j)\to U_j}$ son triviales, por lo tanto $$[X_1]=\sum_j[\pi_1^{-1}(U_j)]=\sum_j([U_j]\cdot [F])=\sum_j[\pi_2^{-1}(U_j)]=[X_2].$$ Both classes equal $[Y]\cdot [F]$.

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El hecho de que $$[\textrm{GL}_n]=\prod_{i=0}^{n-1}(\mathbb L^n-\mathbb L^i)$$ can be proved by induction. For $n=1$ it is clear. For arbitrary $n$, use the fibration $\pi:\textrm{GL}_n\to \mathbb C^n\setminus 0$ sending a matrix to its first column, say. The fiber is $\textrm{GL}_{n-1}\times \mathbb C^{n-1}$, so you can write $[\textrm{GL}_n]=(\mathbb L^n-1)\cdot \mathbb L^{n-1}\cdot [\textrm{GL}_{n-1}]$, y se puede concluir por inducción.

Si usted trabaja con Grothendieck anillos, podría ser interesante saber que las clases $[\textrm{GL}_n]$ son exactamente las clases que se necesitan para invertir en $K_0(\textrm{Var}_k)$ con el fin de conseguir el anillo de Grothendieck de pilas: $$K_0(\textrm{Var}_k)[[\textrm{GL}_n]^{-1}\,|\,n\geq 1]\cong K_0(\textrm{St}_k).$$

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Para su pregunta (1), por desgracia, yo no sé lo suficiente literatura para adivinar lo que es la definición más común de la variedad. Pero redujo parece redundante para mí. De hecho, el cierre de la inmersión $X_{\textrm{red}}\to X$ ha vacío abierto complemento, y la tijera relación, a continuación, le dice $[X]=[X_{\textrm{red}}]$.

Answer 2

Por lo que he leído, parece separados y finito tipo son bastante estándar. Poonen, en su papel de "El Anillo de Grothendieck de Variedades no es un Dominio", añade geométricamente reducida - no he visto esto en otros lugares, pero no he mirado demasiado duro.

Para el segundo, sí existe un fibration relación - al ver que es difícil sin ir más complicados de categorías con isomorfo Grothendieck anillos. Considerar la inclusión de $\mathrm{Var}_k\to\mathrm{Space}_k$- esto da lugar a un homomorphism de grothendieck anillos, que resulta ser un isomorfismo. El siguiente argumento, a continuación, funciona en la categoría de algebraica de los espacios de más de $k$, y la relación de hecho se mantiene en el anillo de Grothendieck de variedades:

Considere la posibilidad de un fibration $E\to B$ con fibra de $F$. En la categoría de algebraicas, espacios, existe un conjunto abierto $U\subset B$ tal que $E_U\to U$ es isomorfo a $U\times F\to U$. Deje $V= B\setminus U$, un subconjunto cerrado de $B$. Así que tenemos $[E]=[F][U]+[E_V]$, y por noetherian de inducción, podemos decir que el $[E_V]=[F][V]$, y por lo $[E]=[F][B]$. Ahora se puede aplicar el argumento de que parecen tener en mente en (2).