¿Cuál es la ecuación de una elipse que no está alineada con el eje?

Question

Tengo una elipse con su longitud de eje semi-menor$x$, y el eje semi mayor$4x$. Sin embargo, está orientado$45$ grados desde el eje (pero todavía está centrado en el origen). Quiero hacer algún trabajo con tal forma, pero no sé cómo expresarlo algebraicamente. ¿Cuál es la ecuación para esta elipse?

Answer 1

Supongamos que se trata del eje semi-mayor$4k$ y del eje semi-secundario$k$ para evitar confusiones.

Alineada con los ejes sería

ps

Pero desea que se haga girar, por lo que debe reemplazar$$\frac{x^2}{(4k)^2}+\frac{y^2}{k^2}=1$ por$x$ y$\frac{x+y}{\sqrt 2}$ por$y$ para obtener

$\frac{y-x}{\sqrt 2}$ $ Que también puede escribir como

ps

Answer 2

Dado un centro de la elipse, a $C = (x_c, y_c)$ y una línea que va a través de $C$ con pendiente $s$ a través del eje mayor de la elipse, sus la ecuación es dada por los ceros de $L(x,y) = y - y_c - s(x - x_c)$ y la línea perpendicular a (y también pasa a través de $C$) está dado por los ceros de $l(x,y) = s(y-y_c)+(x-x_c)$. La ecuación de la elipse es dado por los ceros de

$$E(x,y) = L(x,y)^2/a + l(x,y)^2/b - 1$$

Se requiere que la la distancia entre las intersecciones de $E$ $L$ $2M$ identifica a $$b=M^2(1+s^2)$$ y del mismo modo, que requieren que las intersecciones entre el $E$ $l$ estar separados por $2m$ identifica $$a=m^2(1 + s^2)$$ Esto se demuestra en el siguiente SymPy sesión:

>>> from sympy import *
>>> a, b, x, y, m, M, x_c, y_c, s = var('a,b,x,y,m,M,x_c,y_c,s')
>>> L = (y - y_c) - s*(x - x_c)
>>> l = s*(y - y_c) + (x - x_c)
>>> idiff(L, y, x) == -1/idiff(l, y, x)  # confirm they are perpendicular
True
>>> E = L**2/a + l**2/b - 1
>>> xy = (x, y)
>>> sol = solve((E, L), *xy)
>>> pts = [Point(x, y).subs(zip(xy, p)) for p in sol]
>>> solve(pts[0].distance(pts[1]) - 2*M, b)
[M**2*(s**2 + 1)]
>>> sol = solve((E, l), *xy)
>>> pts = [Point(x,y).subs(zip(xy, p)) for p in sol]
>>> solve(pts[0].distance(pts[1]) - 2*m, a)
[m**2*(s**2 + 1)]

Así que la ecuación general de la elipse centrada en $(x_c, y_c)$ cuyo eje mayor (con un radio de $M$) está en una línea con pendiente $s$, y cuyo eje menor tiene radio de $m$, está dada por las soluciones de: $$\frac{((y - y_c) - s(x - x_c))^2}{m^2(1 + s^2)} + \frac{(s(y - y_c) + (x - x_c))^2}{M^2(1 + s^2)} = 1$$