Prueba $\lim \limits_{x \to\infty } \frac{f(x)}{x}=0$ y $f$ diferenciable implica $ \lim \limits_{x \to\infty } \inf |f'(x)|=0 $

Question

Dada una función diferenciable sobre $(a,+\infty)$ como $\lim \limits_{x \to\infty } \frac{f(x)}{x}=0$ demostrar lo siguiente: $$ \lim \limits_{x \to\infty } \inf |f'(x)|=0 $$

No veo cómo hacerlo... (incluso después de entender Cómo demostrar que $\lim\limits_{x \to \infty} f'(x) = 0$ implica $\lim\limits_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0$ ? )

Answer 1

Basta con demostrar que existe una secuencia $x_n\to \infty$ tal que $f'(x_n)\to 0$ .

Por el teorema del valor medio, para cada $n$ existe $x_n$ con $n<x_n<2n$ tal que $$ f'(x_n) = \frac{f(2n)-f(n)}{2n-n}=\frac{f(2n)-f(n)}{n}=2\frac{f(2n)}{2n}-\frac{f(n)}{n}. $$ Desde $\lim_{x\to \infty} f(x)/x=0$ se deduce que el lado derecho tiende a cero, y por tanto $$ \lim_{n\to \infty} f'(x_n)=0. $$ Por el teorema del apretón, el hecho de que $x_n>n$ implica que $$ \lim_{n\to \infty} x_n=\infty. $$ Con esto termina la prueba.

Answer 2

En caso de que $f'(x)>\epsilon$ para todos $x\geq x_0$ entonces (demostrar que) $f(x)>f(x_0)+\epsilon(x-x_0)$ para todos $x\geq x_0$ .
Entonces demuestre que $f(x)>f(x_0)+\epsilon(x-x_0)>\frac{\epsilon}{2}x$ para todos $x\geq x_1$ para algunos $x_1\geq x_0$ ...