¿Cuándo es $(BA)^\dagger\neq A^\dagger B^\dagger$ para la inversa de Moore Penrose?

Question

Quería encontrar matrices reales $A$ y $B$ tal que: $$(BA)^\dagger\neq A^\dagger B^\dagger$$

mientras que $A^\dagger$ denota el pseudoinverso de Moore-Penrose de una matriz.

Probé algunas cosas y terminé con:

$$ B = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 2\end{pmatrix} , A=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} $$

para estas matrices obtengo $$A^\dagger=\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0\end{pmatrix}, B^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & \frac 15 \\ 0 & \frac 25\end{pmatrix}, A^\dagger B^\dagger = \begin{pmatrix} 0 & \frac 15 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$$ pero $$(BA)^\dagger=\begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$$

por lo que es obvio que estos dos no son iguales. Encontré en Wikipedia que la igualdad indicada anteriormente se mantiene, cuando por ejemplo $B$ o $A$ tiene columnas o filas ortonormales.

Lo que estoy tratando de averiguar aquí es: ¿Existe un criterio tal que la igualdad no $\bf not$ ¿se mantiene? Al tratar de encontrar tales matrices me topé con ellas por accidente, digamos que elegí matrices al azar que no cumplían los requisitos para que la igualdad se mantuviera automáticamente.

Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Obviamente, necesitas que al menos una de tus matrices no sea invertible. Así que vamos a intentarlo para $2 \times 2$ matrices donde $A$ no es invertible pero $B$ es. Así, $A$ es de la forma $v w^T$ donde $v$ y $w$ son vectores columna, que supondré que son distintos de cero. Resulta que $$A^\dagger = \frac{w v^T}{ (v^T v) (w^T w)}$$ para que $$ A^\dagger B^\dagger = \frac{w v^T B^{-1}}{(v^T v) (w^T w)} $$ mientras que $B A = (B v) w^T$ así que $$ (B A)^\dagger = \frac{w v^T B^T}{((Bv)^T B v) (w^T w)}$$ Así, las columnas de ambos $A^\dagger B^\dagger$ y $(BA)^\dagger$ son múltiplos escalares de $w$ pero las filas son en un caso múltiplos de $v^T B^{-1} = ((B^{-1})^T v)^T$ y en el otro caso múltiplos de $v^T B^T = (B v)^T$ . Si $(B^{-1})^T$ no es un múltiplo escalar de $B$ , entonces para casi todo $v$ estos vectores no son múltiplos escalares entre sí y tendremos $A^\dagger B^\dagger \ne (BA)^\dagger$ .