Una Nueva Definición de Derivada

Question

He llegado a través de "Caratheodory Derivados", en mi libro de texto, que es,

Definición 1) Deje $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad t\mapsto f(t)$ ser una función, $a\in \mathbb{R}.$, Entonces si existe una asignación de $\varphi:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, \quad t\mapsto \varphi(t)$, que satisfys $$1) \quad f(x)-f(a)=\varphi(x)\cdot(x-a),\forall x\in \mathbb{R};$$ $$2) \quad \text{$\varphi $ is continuous at the point a} ,$$ entonces llamamos a $\varphi(a)$ la derivada de $f$ a punto de $a.$

Y en comparación con la tradicional definición de derivada:

Definición 2) Deje $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},\quad t\mapsto f(t)$ ser una función, $a\in \mathbb{R}.$, Entonces si el límite $$\lim_{x\to a}{f(x)-f(a)\over{x-a}}$$ exists, then the value of this limit is called the derivative of $f$ at point $$.

Puedo demostrar que (no es difícil) estas dos definiciones anteriores son equivalentes entre sí.Pero cuando miro a la alta dimensión de la condición,la cosa se complica.

Definición 3) Deje $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m,\quad t\mapsto f(t)$ ser una función multivariante, $a\in \mathbb{R}^n,$, Entonces si existe una asignación de $\varphi:\mathbb{R}\to M_{m\times n}(\mathbb{R}),\quad t\mapsto \varphi(t)$, que satisfys $$1) \quad f(x)-f(a)=\varphi(x)\cdot(x-a),\forall x\in \mathbb{R}^n;$$ $$2) \quad \text{$\varphi $ is continuous at the point a} ,$$ entonces llamamos a $\varphi(a)$ la derivada de $f$ a punto de $a.$

Y considerar la definición tradicional de derivados

Definición 4) Deje $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m,\quad t\mapsto f(t)$ ser una función multivariante, $a\in \mathbb{R}^n.$, Entonces, si existe una matriz $A\in M_{m\times n}(\mathbb{R}),$ tal que $$\lim_{x\to a}{||f(x)-f(a)-A\cdot (x-a)||\over{||x-a||}}=0,$$ then matrix $Un$ is called the derivative of $f$ at point $$.

Pregunta: Espero que la definición 3) es equivalente a la definición 4), pero sólo puedo demostrar que $def\ 3)\Rightarrow def\ 4).$ I la duda de si $def\ 4)\Rightarrow def\ 3)$ es correcta. Cualquier ayuda es muy apreciada.

P. S. Ahora soy capaz de hacer alguna generalización de la definición 3).

Definición 5) Deje $E,F$ dos espacios de Banach, $a\in E.$ $\mathcal{L}(E;F)$ ser la colección de continuo lineal de asignación de $E\to F,$, a continuación, considere la función$f:E\to F, \quad t\mapsto f(t),$, entonces si existe una asignación de $\varphi:E\to \mathcal{L}(E;F), \ t\mapsto \varphi(t),$ tal que$$1) \quad f(x)-f(a)=(\varphi(x))(x-a),\forall x\in E;$$ $$2) \quad \text{$\varphi $ is continuous at the point a} ,$$ entonces llamamos a $\varphi(a)$ la derivada de $f$ a punto de $a.$

El uso de Hahn-Banach teorema, podemos ver que esta definición es también equivalente a la clásica definición de la derivada en el espacio de Banach.

Answer 1

Después de la traducción y la sustracción de una función lineal a partir de $f$, podemos asumir que $a = 0$, $f(0) = 0$ y $A = 0$. Por lo tanto, estamos suponiendo que el $f(x) = \varepsilon(x)||x||$ para un vector de valores de la función$\varepsilon(x)$$\varepsilon(x) \to 0$$x \to 0$. Debemos mostrar que hay una matriz de valores de la función$\varphi(x)$$\varphi(x) \to 0$$x \to 0$$f(x) = \varphi(x) \cdot x$.

Para lograr esto, para todos los $x \ne 0$ definimos $\varphi(x) \cdot h = \langle \frac{x}{||x||},h \rangle \varepsilon(x)$. Tenemos $||\varphi(x)|| = ||\varepsilon(x)||$, $||\varphi(x)||$ me refiero a que el operador de la norma de $\varphi(x)$, por lo que es claro que $\varphi(x)$ satisface nuestros requisitos.

Answer 2

Definir la asignación $\psi$

$$\psi(x) = {f(x)-f(a) - A(x-a)\over |x-a|^2} (x-a)\cdot$$

entonces si $x\ne a$ que $x\ne a$ que $f(x)-f(a) - A(x-a) = \psi(x) (x-a)$. Y usted tiene que

$$||\psi(x)|| = {||f(x)-f(a) - A(x-a)||\over||x-a||}$$

Así que usted tiene que $||\psi(x)||\to 0$$x\to a$. Ahora tenemos

$$f(x)-f(a) = A(x-a) + \psi(x) (x-a) = (A-\psi(x))(x-a)$$

Ahora tenemos que desde $||\psi(x)||\to 0$ que $\varphi(x) = A-\psi(x)$ es continua en a $a$.