En un espacio métrico, ¿por qué debe $d(x,x) = 0$?

Question

EDIT: he pedido una mejor versión de esta pregunta aquí.

¿Por qué la distancia de un punto a sí mismo necesita ser $0$? No sólo se necesita para ser la menor distancia posible en ese espacio? ¿No obtener un equivalente de la teoría de espacios métricos si declaramos que $\forall a,b,c,d(a,a)≤d(b,c)$$\forall x,y, d(x,x) =d(y,y)$? Lo que "va mal" si sustituimos estos dos axiomas para la acostumbrada $d(x,x) = 0$?

Answer 1

Si x_n = x para cada n +1,2,3,... desea que la secuencia converge a x, lo que significa que d(x,x) = d(x_n ,x ) ---> 0, y esto implica que d(x,x) = 0 . En el otro lado dejando fuera el axioma es : d(x,y)=0 ==> x=y y se obtiene lo que se conoce como un pseudo espacio métrico y estos tienen importancia para la opinión de los espacios de funciones integrables que conduce a una identificación de las funciones que tienen 0 la distancia entre ellos ,con el fin de obtener la singularidad de los límites .

Answer 2

Tal vez usted podría colocar ese requisito, pero, claro, entonces no cumplir con la definición estándar de un espacio métrico.

Dejar de lado ese requisito podría alterar las propiedades topológicas del espacio. Si por alguna $a$ que $d(a,a)>0$, entonces eso significaría que tenemos de los puntos abiertos. Por ejemplo, esto podría hacer que el espacio no-conectados.

Tenga en cuenta que si en lugar de exigir que $d(a,a)$ ser la distancia más pequeña disponible, usted puede definir una métrica adecuada mediante el establecimiento $\delta(x,y) = d(x,y)-d(a,a)$.

Answer 3

Suponga que hacer el axioma de los cambios que estamos proponiendo. A continuación, $d(x,x) + d(x,x) = 2\epsilon > \epsilon = d(x,x)$ desde $\epsilon$ para usted es un infinitesimal, pero número distinto de cero. Esto le da a usted un problema: elegir cualquier otro punto de $y$ en una lo suficientemente pequeño barrio de $x$ y usted puede encontrar un número de $N$, de modo que $Nd(x,x) = d(x,y)$ que seguro que no es lo que pretendes.

Usted menciona en los comentarios (creo que se debe escribir explícitamente en la pregunta) que usted está tratando de tratar a de un espacio métrico, de 2 categoría. Usted podría tratar aquí: https://ncatlab.org/nlab/show/metric+espacio como un punto de partida, y mirar el Lawvere métrica espacios. Yo sé muy poco acerca de la categoría de la teoría a saber lo útil que puede ser.