Evaluar: $$\sum_{n=1}^{\infty} {\left(\frac{(-1)^n}{n}\sum_{k=1}^n {\left(\frac{(-1)^k}{k}\right)}\right)}$$ Parece que la serie de $\ln(2)$ 'incrustado en sí mismo", así que supongo que para el valor es $\ln^2(2)$. Por desgracia, esto no es correcto, como una estimación de la suma es $1.06269$, mucho mayor que la de $\ln^2(2)\approx 0.48045$.
Alguna idea? Gracias!
Deje $S$ ser dada por
$$S=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k}\tag1$$
Nos puede intercambiar el orden de la suma de $(1)$ y expresar $S$
$$S=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k}\sum_{n=k}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \tag2$$
con lo cual la conmutación de "dummy" suma de los índices en $(2)$ rendimientos
$$\begin{align}S&=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\sum_{k=n}^\infty \frac{(-1)^k}{k}\\\\ &=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n}\left(\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k}-\sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k}\right)\\\\ &=\log^2(2)-\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^k}{k}\\\\ &=\log^2(2)-S+\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}\tag3 \end{align}$$
El uso de $\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ $(3)$ y resolviendo $S$ encontramos
$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{S=\frac12 \log^2(2)+\frac{\pi^2}{12}}\tag 4$$
NOTA:
El resultado en $(4)$ no es sorprendente, dada la simetría. Podemos escribir en general
$$\begin{align} \left(\sum_{n=1}^\infty a_n \right)^2&=\sum_{n=1}^\infty a_n \sum_{k=1}^\infty a_k\\\\ &=2\sum_{n=1}^\infty a_n \sum_{k=1}^{n} a_k-\sum_{n=1}^\infty a_n^2 \end{align}$$
que se vuelve a reorganizar
$$\sum_{n=1}^\infty a_n \sum_{k=1}^{n} a_k=\frac12 \left(\sum_{n=1}^\infty a_n \right)^2+\frac12 \sum_{n=1}^\infty a_n^2$$
Por último, el establecimiento $a_n=\frac{(-1)^n}{n}$, recuperamos el resultado en $(4)$.
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