Encontrar todos los números primos $p,q$ $p^2+q^2=9pq-13$

Question

El mes pasado yo estaba tratando de resolver un problema de una revista, y me encontré con la siguiente ecuación $$p^2+q^2=9pq-13,$$ Donde $p$ $q$ son números primos. Necesitamos obtener soluciones al $p$ $q$ son impares, porque si alguno de ellos es, incluso, la única solución que funciona es $(2,17)$. Cualquier idea será muy apreciada.

He analizado el discriminante de la ecuación cuadrática y necesitamos encontrar soluciones de $77q^2-52=k^2$, esta es una variación de las ecuaciones de Pell.

Answer 1

Esta respuesta va a encontrar todos los enteros respuestas. No sé si hay una manera fácil de encontrar el primer respuestas.

Multiplicando por $4$ obtenemos $4p^2-36pq+4q^2=-52$ o $(2p-9q)^2-77q^2=-52$.

Ahora, si hay una solución a$x^2-77y^2=-52$, $x,y>0$ entonces tenemos que $x,y$ debe tener la misma paridad, y hemos de tomar.

$$\begin{align}x_1+y_1\sqrt{77}&=(x+y\sqrt{77})\left(\frac{9}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{77}\right)\\ &=\frac{9x-77y}{2}+\frac{9y-x}{2}\sqrt{77} \end{align}$$

Si $x$ es el menor entero positivo solución, entonces tenemos que:

$$\left|\frac{9x-77y}{2}\right|\geq x$$

Así que o $x\geq 11y$ o $7y\geq x$. Lo que significa que cualquiera de las $-52=x^2-77y^2\geq 44y^2$ que no es posible, o $-52=x^2-77y^2\leq -28y^2,$, por lo que el único valor posible para $y$$y=1$, y esto le da $x=5.$

Así que hay infinitamente muchas soluciones, todos de la forma $$X+Y\sqrt{77}=(5+\sqrt{77})\left(\frac{9}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{77}\right)^k$$

A continuación,$q=Y, p=\frac{X+9Y}{2}$.