Esto es en un espacio vectorial topológico localmente convexo sobre $\mathbb R$ . La equivalencia es para el cerrado casco convexo, utilizando cerrado medio espacios, cerrado conjuntos convexos, y funcionales lineales continuos. Es decir, el casco convexo cerrado de $X$ es la intersección de todos los conjuntos convexos cerrados que contienen $X$ y ésta es también la intersección de todos los semiespacios cerrados que contienen $X$ .
Contraejemplo de su afirmación: En $\mathbb R^2$ , dejemos que $X$ sea la unión del semiespacio abierto $\{(x,y): x > 0\}$ y el punto $(0,0)$ . Este es un conjunto convexo; su casco convexo es él mismo. Pero cualquier semiespacio que contenga $X$ contiene todo el $y$ eje, por lo que la intersección de estos semiespacios es $\{(x,y): x \ge 0\}$ .
Un semiespacio cerrado es un conjunto convexo cerrado, y la intersección de conjuntos convexos cerrados es un conjunto convexo cerrado, por lo que la intersección de todos los semiespacios que contienen $X$ es un conjunto convexo cerrado que contiene $X$ .
Por el contrario, si $C$ es un conjunto convexo cerrado y $p$ un punto no en un punto no en $C$ El teorema de separación de El teorema de separación de Hahn-Banach dice que hay un semiespacio cerrado que contiene $C$ pero no $p$ . Por tanto, cualquier punto de la intersección de todos los semiespacios cerrados que contengan $X$ está en el casco convexo cerrado de $X$ .
