La combinatoria sin duda puede ser riguroso, pero normalmente no se presenta de esa manera porque hacerlo de esa manera es:
- más (obviamente)
- menos clara debido a que el rigor pueden oscurecer las ideas clave
- aburrido porque una vez que usted sabe intuitivamente que algo funciona pierde el interés en un argumento riguroso
Por ejemplo, compare las siguientes dos pruebas de que el coeficiente binomial es $n!/k!(n - k)!$ donde voy a definir el coeficiente binomial como el número de $k$-elemento de subconjuntos de a $\{1,\dots,n\}$.
Prueba 1:
Tomar una permutación $a_1,\dots, a_n$$n$. Independiente esta en $a_1,\dots,a_k$$a_{k + 1}, \dots, a_n$. Podemos permutar $1,\dots, n$ $n!$ maneras y ya no nos importa el orden de $a_1,\dots,a_k$ o $a_{k + 1},\dots,a_n$ dividimos por $k!(n - k)!$, para un total de $n!/k!(n - k)!$.
Prueba 2:
Deje $B(n, k)$ denota el conjunto de $k$-elemento de subconjuntos de a $\{1,\dots,n\}$. Vamos a demostrar que no es un bijection
$$ S_n \longleftrightarrow B(n, k) \times S_k \times S_{n - k}. $$
El mapa de $\to$ se define como sigue. Deje $\pi \in S_n$. Deje $A = \{\pi(1),\pi(2),\dots,\pi(k)\}$ y deje $B = \{\pi(k + 1),\dots, \pi(n)\}$. Para cada subconjunto finito $C$ $\{1,\dots,n\}$ $m$ elementos, arreglar un bijection $g_C : C \longleftrightarrow \{1,\dots,m\}$ de solicitarlo a través de los elementos de $C$, en orden creciente $c_1 \le \dots \le c_m$ y la asignación de $c_i \longleftrightarrow i$.
Definir los mapas de $\pi_A$$\pi_B$$\{1,\dots,k\}$$\{1,\dots,n-k\}$, respectivamente, por la definición de
$$ \pi_A(i) = g_A(\pi(i)) \text{ and } \pi_B(j) = g_B(\pi(j)). $$
Podemos asignar el elemento $\pi \in S_n$ a la triple $(A, \pi_A, \pi_B) \in B(n, k) \times S_k \times S_{n - k}$.
Por el contrario, dado un triple $(A, \sigma, \rho) \in B(n, k) \times S_k \times S_{n - k}$ definimos $\pi \in S_n$ por
$$
\pi(i) =
\begin{cases}
g_A^{-1}(\sigma(i)) & \text{if } i \in \{1,\dots,k\} \\
g_B^{-1}(\rho(i)) & \text{if } i \in \{k + 1,\dots,n - k\}
\end{casos}
$$
donde $B = \{1,\dots,n\} \setminus A$.
Esto define un bijection $S_n \longleftrightarrow B(n, k) \times S_k \times S_{n - k}$ y por lo tanto
$$ n! = {n \choose k} k!(n - k)! $$
como se requiere.
Análisis:
La primera prueba fue de dos frases, mientras que el segundo era un poco de desorden complicado. Personas con experiencia en la combinatoria va a entender el segundo argumento está sucediendo detrás de las escenas de cuando la lectura del primer argumento. Para ellos, el primer argumento es todo el rigor necesario. Para los estudiantes es útil para enseñar un segundo método un par de veces para construir un nivel de comodidad con bijective pruebas. Pero si tratamos de hacer todo de la combinatoria, la segunda manera sería demasiado largo y habría disturbios.
Post Scriptum
Yo diría que una gran cantidad de combinatoria libros de texto y artículos tienden a ser escrito más en la línea del segundo argumento (es decir, con rigor). Charlas y conferencias tienden a estar más en línea con el primer argumento. Sin embargo, el aumento del nivel de los libros y documentos sólo prueban "más resultados" de esta manera y simplemente el estado de resultados que se encuentran en el nivel inferior de las fuentes. Ellos también se mueven mucho más rápido y no explicar cada paso exactamente.
Por ejemplo, yo no demuestran que el mapa de arriba era un bijection, simplemente lo dijo. En un nivel inferior libro habrá una prueba de que los dos mapas que componen la identidad de ambas maneras. En un nivel más alto de libro, usted sólo puede ver un ejemplo de la bijection y una declaración de que hay un bijection, en general, con el supuesto de que la persona de la lectura a través del ejemplo podría construir una prueba en su propia.
