$\mathrm{lcm}(1, 2, 3, \ldots, n)$?

Question

Quiero encontrar a $\mathrm{lcm}(1, 2, 3, \ldots, n)$ donde $2 \le n \le 10^8$ .

Estoy tratando de encontrar una fórmula .

Por Favor, Ayudar .

Answer 1

Yo reclamo que

$${\rm lcm}(1,2,3,\cdots,n)=\prod_p p^{\large\lfloor\log_p n\rfloor}.$$

Vamos a repasar lo que una LCM es: se dice $\ell$ es un MCM de los elementos de un conjunto finito $S$ precisamente si se dispone de los siguientes "característica universal" (el MCD del mismo modo tiene una definición):

$$s\mid m~{\rm for~all~}s\in S ~~\iff~ \ell\mid m.$$

Es decir, que si queremos crear un orden parcial en el conjunto de las cosas que son al mismo tiempo múltiplos de todo lo $S$, $\ell$ es mínima en esta colección. Ahora, llame al producto que se definió anteriormente $\Pi$. Supongamos $s\mid m$ por cada $1\le s\le n$ y algunos entero $m$. A continuación, en particular, para cada número primo $p$, el más alto poder de $p$ $\le n$ ($p^{\lfloor\log_pn\rfloor}$ - check) se dividen $m$, y por lo tanto (puesto que todas estas cosas son coprime), su producto, que es $\Pi$, se dividen $m$. Así

$$s\mid m{\rm ~for~all~}s\in S\implies \Pi\mid m.$$

Ahora sólo necesitamos la dirección inversa para mostrar que $\Pi$ es una LCM. Así, supongamos $\Pi\mid m$ y deje $1\le s\le n$. A continuación, $s=\prod_p p^{e_p}$ tiene una única factorización en primos, y $e_p\le \lfloor\log_pn\rfloor$, por lo que, de hecho, $p^{e_p}\mid p^{\lfloor\log_pn\rfloor}$ por cada $p$, y, por tanto,$s\mid\Pi\mid m\implies s\mid m$. Esto termina la prueba.

Otra fórmula posible es la exponencial de la summatory Mangoldt función,

$${\rm lcm}(1,2,3,\cdots,n)=\exp\psi(n).$$

La razón de esto podría ser muy interesante, es debido a la conexión entre el $\psi$ y el PNT.

Answer 2

Este es OEIS A03418 donde la fórmula $$a(n)=\prod p^{\lfloor(\log n/\log p\rfloor}$$ , donde p recorre los primos que no exceda de n se da, también

Recursiva fórmula útil para los cálculos: $a(0)=1; a(1)=1; a(n)=\operatorname{lcm}(n,a(n-1))$