La diferencia entre log y ln

Question

$$\dfrac{1}{2}\ln(x+7)-(2 \ln x+3 \ln y)$$

Nuestro profesor nos permite resolver esto, pero no entiendo cómo funciona $\ln$. Él dice que tiene las mismas propiedades que $\log$, pero aún no lo entiendo. ¿Cuál es la diferencia entre los dos?

Answer 1

El logaritmo común es el logaritmo base 10. Es la función inversa de la función exponencial $10^x$. En clases de Cálculo y Precálculo, generalmente se denota como $\log$.

El logaritmo natural es el logaritmo base $e$. Es la función inversa de la función exponencial $e^x$. En clases de Cálculo y Precálculo, a menudo se denota como $\ln$.

En general, si $a\gt 0$, $a\neq 1$, entonces la función inversa de $a^x$ es el "logaritmo base $a$", $\log_a(x)$.

La "fórmula guía" es $$\log_a(b) = r\text{ si y solo si }a^r = b.$$ A partir de esto, se derivan las propiedades de las funciones logarítmicas:

1. $\log_a(xy) = \log_a(x)+\log_a(y)$: el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.

¿Por qué? Digamos que $\log_a(x) = r$ y $\log_a(y)=s$. Eso significa que $a^r = x$ y $a^s=y$. Entonces $xy = a^ra^s = a^{r+s}$, por lo tanto $\log_a(xy) = r+s = \log_a(x) + \log_a(y)$.

2. $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$.

¿Por qué? Nuevamente, digamos que $\log_a(x) = r$ y $\log_a(y) = s$. Entonces $a^r = x$, $a^s = y$, por lo tanto $\frac{x}{y} = \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$, lo que significa que $\log_a\frac{x}{y}=r-s = \log_a(x)-\log_a(y)$.

3. $\log_a(x^t) = t\log_a(x)$.

¿Por qué? Si $\log_a(x)=r$, de modo que $a^r = x$, entonces $x^t = (a^r)^t = a^{rt}$, por lo tanto $\log_a(x^t) = rt = t\log_a(x)$.

4. $\log_a(a^r) = r$ y $a^{\log_a(x)} = x$. Porque $\log_a(x)$ y $a^x$ son inversos entre sí.

En particular, $\ln$, que es $\log_{e}$; y usando $\log$ para $\log_{10}$, tenemos estas propiedades: $$\begin{align*} \log(xy) &= \log(x)+\log(y) &\qquad \ln(xy) &=\ln(x) + \ln(y)\\ \log\left(\frac{x}{y}\right) &= \log(x) - \log(y) &\ln\left(\frac{x}{y}\right) &= \ln(x) - \ln(y)\\ \log(x^a) &= a\log(x) & \ln(x^a) &= a\ln(x)\\ \log(10^x) &= x & \ln(e^x) &= x\\ 10^{\log(x)} &= x & e^{\ln(x)} &= x \end{align*}$$

También proporciona una manera de ir y venir entre cualquier logaritmo y cualquier otro logaritmo: si $a$ y $b$ son dos bases, ambas positivas, ambas diferentes de uno, ¿cuál es la relación entre $\log_a(x)$ y $\log_b(x)$?

Si $\log_b(x)=r$, entonces $b^r = x$. Por lo tanto $$\log_a(x)= \log_a(b^r) = r\log_a(b) = \log_b(x)\log_a(b).$$ Entonces obtenemos que $$\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}.$$

Como señala Henning abajo, mientras que $\ln$ no es ambiguo (siempre denota el logaritmo base $e$), $\log$ sí es ambiguo y su significado exacto depende del contexto. En cursos de matemáticas más avanzados, se usa habitualmente para referirse al logaritmo natural; en informática, muy a menudo se utiliza para denotar el logaritmo base $2$. Para algunas aplicaciones, no importa (por ejemplo, al analizar la complejidad, ya que dos logaritmos diferentes son simplemente múltiplos escalares entre sí).

Answer 2

El uso de la abreviatura "ln" para el logaritmo natural es algo malo porque hace que la gente piense que "log" es una cosa y "ln" es otra cosa, y pregunten cuál es la diferencia entre las dos.

La función logarítmica de base $10$ es una función logarítmica.

La función logarítmica de base $2$ es una función logarítmica.

La función logarítmica de base $e$ es una función logarítmica.

La diferencia es qué número es la base.

Los matemáticos que escriben "$\log x$" generalmente se refieren a $\log_e x$, también llamado $\ln x$.

Las calculadoras usan $\log x$ para denotar $\log_{10} x$. Esto también se utiliza en algunas ciencias al hacer cálculos numéricos.

La razón por la importancia de los logaritmos de base $10$ se volvió obsoleta con las calculadoras. A principios de los años 70, las calculadoras se volvieron comunes. Antes de eso, muchos libros tenían tablas de logaritmos de base $10$ en un apéndice. Supongamos que querías el logaritmo de $123$. La tabla te daba logaritmos de números entre $1$ y $10$, así que encontrabas $\log_{10}1.23= 0.089905\ldots$ y concluías que $\log_{10} 123 = 2.089905\ldots\;{}$. Sumabas $2$ para desplazar el punto decimal dos lugares. Por eso se usaba la base 10: para hacer eso posible. Si querías la raíz cuadrada de $7$, encontrabas el logaritmo de $7$, dividías por $2$, luego encontrabas la antilogaritmo en la misma tabla. Si querías dividir $319450231$ por $2673019201$, encontrabas los logaritmos de ambos en la tabla, restabas, y luego encontrabas la antilogaritmo. Y así sucesivamente.

La pregunta teórica importante sobre "$\ln$" es por qué $e=2.71828182846\ldots$ es la base "natural" a usar. (¿Alguien ha publicado esa pregunta aquí?) (Cuando planteo esa pregunta e intento responderla en una clase de cálculo, algunos estudiantes preguntan "¿Tenemos que saber esto? ¿Esto estará en el examen?". La próxima vez que alguien haga eso, voy a decir "¿A quién le importa?")

Answer 3

Según la norma internacional ISO 31-11, "ln" representa el logaritmo natural en base e; "lg" es para el logaritmo común en base 10; y "lb" es para el logaritmo binario en base 2. "log" es una notación genérica para un logaritmo de una base arbitraria que necesita ser especificada.

Los antiguos libros de texto de matemáticas/física soviéticos/rusos siguen esta regla más o menos consistentemente, mientras que la literatura de física en inglés a menudo usa "log" para denotar el logaritmo natural. En defensa de este último, puedo decir que en la mayoría de los casos en física un logaritmo se considera una función casi constante. Para un físico teórico, "log(x)" simplemente significa "algo que no depende demasiado dramáticamente de x". El valor numérico exacto de este algo rara vez se pregunta, por lo tanto la base no es interesante, por lo tanto "log" es tan bueno como "ln" o "lg" (no olvides que estas son las mismas personas para quienes 2=$\pi$\=1).

Answer 4

Los logaritmos con bases diferentes cruzan la línea y = 0 en x=1 con diferentes pendientes (de la tangente a la curva). La base natural e hace que esta pendiente sea igual a 1.

El número se llama e en honor a Leonhard Euler, un matemático que le dio a este número un significado y encontró su valor. Euler trabajó en una fórmula para el interés compuesto. Si r es la tasa de interés anualizada y n es el número de intervalos de capitalización por año, la fórmula para la cantidad de inversión de \$ 1 después de n intervalos es: $$(1+\frac r n )^n$$ Euler demostró que el límite de este valor para n infinitamente grande es $e^r$ donde e es $$\lim_{n\to\infty} (1+\frac 1 n)^n$$ cuando $n \rightarrow \infty$. Es aproximadamente 2.718.

Answer 5

El símbolo $\log$, por sí solo y sin otras convenciones, carece de significado, al igual que la palabra "logaritmo".

La frase "logaritmo de $x$ en base $b$" tiene significado si $b$ y $x$ son positivos. El significado se define de la siguiente manera: el logaritmo de $x$ en base $b$ (denotado por $\log_{b} (x)$) es el exponente al cual $b$ debe elevarse para obtener $x$.

Es decir, si $y = \log_{b} (x)$, entonces $x = b^y$.

Por convención, el "logaritmo natural" es el logaritmo en base $e$, donde $e$ es la constante de Euler: $$ \ln(x) = \log_{e}(x). $$