La diferencia entre log y ln

Question

$$\dfrac{1}{2}\ln(x+7)-(2 \ln x+3 \ln y)$$

Nuestro profesor nos permite resolver esto, pero no entiendo cómo funciona $\ln$. Él dice que tiene las mismas propiedades que $\log$, pero aún no lo entiendo. ¿Cuál es la diferencia entre los dos?

Answer 1

El logaritmo común es el logaritmo base 10. Es la inversa de la función exponencial $10^x$. En clases de Cálculo y Precálculo, suele denotarse como $\log$.

El logaritmo natural es el logaritmo base $e$. Es la inversa de la función exponencial $e^x$. En clases de Cálculo y Precálculo, a menudo se denota como $\ln$.

En general, si $a\gt 0$, $a\neq 1$, entonces la inversa de la función $a^x$ es el "logaritmo base $a$", $\log_a(x)$.

La "fórmula guía" es $$\log_a(b) = r\text{ si y solo si }a^r = b.$$ A partir de esto, se derivan las propiedades de las funciones logarítmicas:

1. $\log_a(xy) = \log_a(x)+\log_a(y)$: el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos.

¿Por qué? Digamos que $\log_a(x) = r$ y $\log_a(y)=s$. Eso significa que $a^r = x$ y $a^s=y$. Entonces $xy = a^ra^s = a^{r+s}$, por lo tanto $\log_a(xy) = r+s = \log_a(x) + \log_a(y)$.

2. $\log_a\left(\frac{x}{y}\right) = \log_a(x) - \log_a(y)$.

¿Por qué? De nuevo, digamos que $\log_a(x) = r$ y $\log_a(y) = s$. Entonces $a^r = x$, $a^s = y$, por lo tanto $\frac{x}{y} = \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s}$, lo que significa que $\log_a\frac{x}{y}=r-s = \log_a(x)-\log_a(y)$.

3. $\log_a(x^t) = t\log_a(x)$.

¿Por qué? Si $\log_a(x)=r$, de modo que $a^r = x$, entonces $x^t = (a^r)^t = a^{rt}$, por lo tanto $\log_a(x^t) = rt = t\log_a(x)$.

4. $\log_a(a^r) = r$ y $a^{\log_a(x)} = x$. Porque $\log_a(x)$ y $a^x$ son inversos entre sí.

En particular, $\ln$, que es $\log_{e}$; y usando $\log$ para $\log_{10}$, tenemos estas propiedades: $$\begin{align*} \log(xy) &= \log(x)+\log(y) &\qquad \ln(xy) &=\ln(x) + \ln(y)\\ \log\left(\frac{x}{y}\right) &= \log(x) - \log(y) &\ln\left(\frac{x}{y}\right) &= \ln(x) - \ln(y)\\ \log(x^a) &= a\log(x) & \ln(x^a) &= a\ln(x)\\ \log(10^x) &= x & \ln(e^x) &= x\\ 10^{\log(x)} &= x & e^{\ln(x)} &= x \end{align*}$$

También te da una forma de ir de un logaritmo a otro: si $a$ y $b$ son dos bases, ambas positivas, ambas distintas de uno, ¿cuál es la relación entre $\log_a(x)$ y $\log_b(x)$?

Si $\log_b(x)=r$, entonces $b^r = x$. Así que $$\log_a(x)= \log_a(b^r) = r\log_a(b) = \log_b(x)\log_a(b).$$ Entonces obtenemos que $$\log_b(x) = \frac{\log_a(x)}{\log_a(b)}.$$

Como señala Henning a continuación, mientras que $\ln$ no es ambiguo (siempre denota el logaritmo base $e$), $\log$ sí es ambiguo y su significado exacto depende del contexto. En cursos de matemáticas más avanzadas, suele utilizarse para referirse al logaritmo natural; en informática, muy a menudo se utiliza para denotar el logaritmo base $2$. Para algunas aplicaciones, no importa (por ejemplo, al analizar complejidades, ya que dos logaritmos diferentes son simplemente múltiplos escalares entre sí).

Answer 2

El uso de la abreviatura "ln" para logaritmo natural es algo malo porque hace que las personas piensen que "log" es una cosa y "ln" es otra cosa, y pregunten cuál es la diferencia entre los dos.

La función logarítmica de base $10$ es una función logarítmica.

La función logarítmica de base $2$ es una función logarítmica.

La función logarítmica de base $e$ es una función logarítmica.

La diferencia está en cuál número es la base.

Los matemáticos que escriben "$\log x$" generalmente se refieren a $\log_ex$, también llamado $\ln x$.

Las calculadoras usan $\log x$ para referirse a $\log_{10} x$. Esto también se utiliza en algunas ciencias al hacer cosas numéricas.

La razón de la importancia de los logaritmos de base $10$ se volvió obsoleta con las calculadoras. A principios de los años 70, las calculadoras se popularizaron. Antes de eso, muchos libros tenían tablas de logaritmos de base $10$ en un apéndice. Supongamos que querías el logaritmo de $123$. La tabla te daba logaritmos de números entre $1$ y $10$, así que encontraste $\log_{10}1.23= 0.089905\ldots$ y concluiste que $\log_{10} 123 = 2.089905\ldots$. Añadiste $2$ para mover el punto decimal 2 lugares. Por eso se usaba la base 10: para que eso fuera posible. Si querías la raíz cuadrada de $7$, encontrabas el logaritmo de $7$, dividías entre $2$, y luego encontrabas el antilogaritmo en la misma tabla. Si querías dividir $319450231$ entre $2673019201$, encontrabas los logaritmos de ambos en la tabla, restabas, y luego encontrabas el antilogaritmo. Y así sucesivamente.

La pregunta teórica importante sobre "$\ln$" es por qué $e=2.71828182846\ldots$ es la base "natural" para usar. (¿Alguien ha publicado esa pregunta aquí?) (Cuando planteo esa pregunta y trato de responderla en una clase de cálculo, algunos estudiantes preguntan "¿Tenemos que saber esto? ¿Está en el examen?". La próxima vez que alguien haga eso, voy a decir "¿A quién le importa?").

Answer 3

Según la norma internacional ISO 31-11, "ln" representa el logaritmo natural en base e; "lg" es para el logaritmo común en base 10; y "lb" es para el logaritmo binario en base 2. "log" es una notación genérica para un logaritmo de una base arbitraria que debe especificarse.

Los antiguos libros de matemáticas/física soviéticos/rusos siguen más o menos consistentemente esta regla, mientras que la literatura de física en inglés a menudo usa "log" para denotar el logaritmo natural. En defensa de esto último, puedo decir que en la mayoría de los casos en física se considera que un logaritmo es una función casi constante. Para un físico teórico, "log(x)" simplemente significa "algo que no depende dramáticamente de x". El valor numérico exacto de este algo rara vez se pregunta, por lo tanto la base no es relevante, por lo tanto "log" es igual de válido que "ln" o "lg" (no olvides que son las mismas personas para quienes 2=$\pi$\=1).

Answer 4

Los logaritmos con bases diferentes cruzan la línea y = 0 en x=1 con pendientes diferentes (de la tangente a la curva). La base natural e hace que esta pendiente sea igual a 1.

El número se llama e en honor a Leonhard Euler, un matemático que primero le dio un significado a este número y encontró su valor. Euler trabajó en una fórmula para el interés compuesto. Si r es la tasa de interés anualizada y n es el número de intervalos de capitalización por año, la fórmula para la cantidad de inversión de \$1 después de n intervalos es: $$(1+\frac r n )^n$$ Euler demostró que el límite de este valor para n infinitamente grande es $e^r$ donde e es $$\lim_{n\to\infty} (1+\frac 1 n)^n$$ cuando $n \rightarrow \infty$. Es aproximadamente 2.718.

Answer 5

El símbolo $\log$, por sí solo y sin otras convenciones, no tiene sentido, al igual que la palabra "logaritmo".

La frase "logaritmo de $x$ en la base $b$" tiene sentido si $b$ y $x$ son positivos. El significado se define de la siguiente manera: el logaritmo de $x$ en la base $b$ (denotado por $\log_{b} (x)$) es el exponente al cual $b$ debe elevarse para obtener $x$.

Es decir, si $y = \log_{b} (x)$, entonces $x = b^y$.

Por convención, el "logaritmo natural" es el logaritmo en la base $e$, donde $e$ es la constante de Euler: $$\ln(x) = \log_{e}(x).$$