Necesito calcular un par de sumas de Gauss para resolver un problema en el que estoy trabajando, pero sigo recibiendo la respuesta es incorrecta puesto que el valor absoluto de lo que calculo que es imposible que una suma. Puede alguien irregular mi error?
Supongamos $F$ es un campo con cuatro elementos, como $0, 1, a, a^2$, e $\chi$ un carácter no trivial en $F$. Por lo tanto debemos tener $\chi(0) = 0, \chi(1) = 1$, y podemos suponer $\chi(a) = \zeta$ $\chi(a^2) = \zeta^2$ donde $\zeta = e^{2\pi i /3}$. Esto es debido a que $\chi$ devuelve un valor distinto de cero miembro de $F$ a un tercio de la raíz de la unidad, por lo que la única otra homomorphism (que serían $\chi^2$) de intercambio donde $a$ $a^2$ son enviados.
Ahora Gauss suma de $\chi$ está dado por $g(\chi) = \sum\limits_{t \in F} \chi(t)\zeta^{tr(t)}$ donde $tr$ es la función de trazado, que se define por $tr(t) = t + t^2$. La función de trazado tiene su rango igual a $\mathbb{Z}_2 \subset F$, cada miembro de la cual se interpreta como el correspondiente $0$ o $1$$\mathbb{C}$.
Tenemos $tr(0) = 0, tr(1) = 1 + 1^2 = 0$. También se $tr(a) = a + a^2 = 1$, e $tr(a^2) = a^2 + a^4 = a^2 + a = tr(a) = 1$.
Por lo tanto la suma de Gauss es $\chi(0)\zeta^{tr(0)} + \chi(1)\zeta^{tr(1)} + \chi(a)\zeta^{tr(a)} + \chi(a^2)\zeta^{tr(a^2)} = 0 + 1 + \zeta \zeta + \zeta^2\zeta = 1 + \zeta^2 + 1 = 2 + \zeta^2$.
Pero $\zeta^2 = e^{2 \pi i (2/3)} = Cos(4 \pi / 3) + i Sin(4 \pi / 3) = -1/2 - i\sqrt{3}/2$, de donde $g(\chi) = 1.5 - \sqrt{3}i/2$, lo $|g(\chi)| = \sqrt{2.25 + 3/4} = \sqrt{3}$.
La suma de Gauss se supone que tiene valor absoluto $\sqrt{|F|} = 2$. Lo que he hecho mal aquí?
