Limitaciones de la masiva relativista de la partícula en el punto de hamiltoniana de la mecánica

Question

Trato de entender la construcción de la Hamiltoniana de la mecánica con restricciones. Me decidí a empezar con el caso simple: libre relativista de la partícula. He construido hamiltonianos con la restricción:

$$S=-m\int d\tau \sqrt{\dot x_{\nu}\dot x^{\nu}}$$

$\phi=p_{\mu}p^{\mu}-m^2=0$ $-$ primera clase de restricción.

A continuación, $$H=H_{0}+\lambda \phi=\lambda \phi.$ $

Así que, quiero demostrar que puedo obtener de este Hamiltoniano la misma ecuación de movimiento, como los obtenidos a partir de Lagrange.

Pero el problema es que no estoy seguro de qué hacer con $\lambda=\lambda(q,p)$. He intentado lo siguiente:

$\dot x_{\mu}=\{x_{\mu},\lambda \phi\}=\{x_{\mu},\lambda p^2\}-m^2\{x_{\mu},\lambda\}=\lambda\{x_{\mu},p^2\}+p^2\{x_{\mu},\lambda\}-m^2\{x_{\mu},\lambda\}=2\lambda \eta_{\mu b} p^b+p^2\{x_{\mu},\lambda\}-m^2\{x_{\mu},\lambda\}=2\lambda \eta_{\mu b} p^b+p^2\frac{\partial \lambda}{\partial p^{\mu}}-m^2\frac{\partial \lambda}{\partial p^{\mu}}$

$\dot \lambda=\{\lambda, \lambda \phi \}=\{\lambda,\lambda p^2\}-m^2\{\lambda,\lambda\}=\lambda\{\lambda,p^2\}+p^2\{\lambda,p^2\}=2\lambda\eta_{ak}p^{a}\frac{\partial \lambda}{\partial x^{k}}$

$\dot p_{\mu}=\{p_{\mu},\lambda p^{2}-m^2\lambda \}=p^{2}\{p_{\mu},\lambda\}-m^2\{p_{\mu},\lambda\}=-p^{2}\frac{\partial \lambda}{\partial x^{\mu}}+m^2\frac{\partial \lambda}{\partial x^{\mu}}$

Si recordamos que el $p^2-m^2=0$, entonces se obtienen a partir de la tercera ecuación: $\dot p=0$, y a partir de la primera: $\dot x_{\mu}=2\lambda\eta_{ak}p^{a}$.

Así tenemos

1) $\dot x_{\mu}=2\lambda\eta_{\mu b}p^{b}$

2) $\dot \lambda=2\lambda\eta_{ak}p^{a}\frac{\partial \lambda}{\partial x^{k}}$

3) $\dot p=0$

Pero no sé qué hacer a continuación. Me pueden ayudar?

Answer 1

Sugerencias para la pregunta (v1):

1. Permítanos parametrizar el problema wrt. un mundo arbitrario parámetro de la línea de $\tau$ (que no tiene que ser el momento adecuado).

2. El multiplicador de Lagrange $\lambda=\lambda(\tau)$ depende de $\tau$, pero no dependen de las variables canónicas $x^{\mu}$$p_{\mu}$. Del mismo modo, $x^{\mu}$ $p_{\mu}$ solo depende de los $\tau$.

3. El multiplicador de Lagrange $\lambda=\frac{e}{2}$ puede ser identificada con un einbein$^1$$e$. Ver más abajo donde nos explican de una forma sencilla para entender la aparición de la shell de restricción $$\tag{1}p^2+m^2~=~0.$$ Aquí el Minkowski firma es $(-,+,+,+)$.

4. Iniciar con el siguiente Lagrangiano para una enorme relativista punto de partículas $$\tag{2}L_0~:=~ -m\sqrt{-\dot{x}^2},$$ donde el punto medio de la diferenciación wrt. el mundo parámetro de la línea de $\tau$. Aquí la acción es $S_0=\int \! d\tau~ L_0 $.

5. Introducir un einbein campo $e=e(\tau)$, y de Lagrange $$\tag{3}L~:=~\frac{\dot{x}^2}{2e}-\frac{e m^2}{2}.$$

6. Muestran que el Lagrangiano momenta$^2$ $$\tag{4}p_{\mu}~=~\frac{1}{e}\eta_{\mu\nu}~\dot{x}^{\nu}.$$

7. Mostrar que el de Euler-Lagrange las ecuaciones de Lagrange (3) se $$\tag{5} \dot{p}_{\mu}~\approx~0, \qquad \dot{x}^2+(em)^2~\approx~0.$$

8. Muestran que el Lagrangiano (3) se reduce a la original de Lagrange (2) cuando la integración de la einbein campo $e$.

9. Realizar una transformación de Legendre$^2$ de la Lagrangiana (3), y muestran que la correspondiente Hamilton se convierte en $$\tag{6}H~=~ \frac{e}{2}(p^2+m^2).$$ Este Hamiltoniano (6) es, precisamente, de la forma de Lagrange del multiplicador de la restricción (1).

10. Mostrar que las ecuaciones de Hamilton son precisamente nca. (4) y (5).

11. La arbitrariedad en la elección de el mundo parámetro de la línea de $\tau$ conduce a reparametrization simetría $$\tau^{\prime}~=~f(\tau), \qquad d\tau^{\prime} ~=~ d\tau\frac{df}{d\tau},\qquad \dot{x}^{\mu}~=~\dot{x}^{\prime\mu}\frac{df}{d\tau},\qquad e~=~e^{\prime}\frac{df}{d\tau},\qquad $$ $$\etiqueta{7} p_{\mu}~=~p_{\mu}^{\prime},\qquad L~=~L^{\prime}\frac{df}{d\tau},\qquad H~=~H^{\prime}\frac{df}{d\tau}\qquad S~=~S^{\prime},$$ donde $f=f(\tau)$ es un bijective función.

12. Así, uno puede elegir distintos calibres, por ejemplo, $e={\rm const.}$

Referencias:

1. J. Polchinski, La Teoría De Cuerdas, Vol. 1, Sección 1.2.

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$^1$ Un einbein es una 1D versión de un vielbein.

$^2$ Estrictamente hablando, en la singular transformación de Legendre, uno también debe introducir un impulso $$\tag{8}p_e~:=~\frac{\partial L}{\partial \dot{e}}~=~0$$ para el einbein $e$, lo que conduce a una primaria de la restricción, que de inmediato mata el impulso $p_e$ nuevo. Tenga en cuenta que $\frac{\partial H}{\partial e}\approx 0$ se convierte en una de las ecuaciones de Hamilton.

Answer 2

A partir de la ecuación (1) se puede obtener

\begin{equation*} \sqrt{\dot x_\mu \dot x^\mu}= 2\lambda \sqrt{p_\mu p^\mu}=2\lambda m \end{ecuación*}

La combinación de esta con su (1), se obtiene

\begin{equation*} \frac{\dot x_\nu}{\sqrt{\dot x_\mu \dot x^\mu}}=\frac{ p_\nu}{m}. \end{ecuación*}

Por último, la combinación con su (2), se obtiene

\begin{equation} \frac{d}{d\tau}\left(\frac{{\dot x_\nu}}{\sqrt{\dot x_\mu \dot x^\mu}}\right)=0, \end{equation}

que es exactamente la ecuación se puede encontrar a partir de la original de Lagrange