Riemann integral de $ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{n}, & \text{if $x=\frac{1}{n}, \ \ n=1, 2,3 ,\cdots$ } \\ 0, & \text{other where} \end{cases}$

Question

Deje $f:[0, 1]\to\mathbb{R}$ e $ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{n}, & \text{if %#%#% } \\ 0, & \text{other where} \end{casos}$

Quiero encontrar a $x=\frac{1}{n}, \ \ n=1, 2,3 ,\cdots$ creo que la respuesta es $\int_{0}^{1} f\, dx.$.

Cualquier idea o una idea, sería muy apreciado

Answer 1

Para cualquier $\epsilon > 0$, elija $n > \dfrac{2}{\epsilon}$, definir una partición $P_n = \{0,\dfrac{1}{n}, 1-\dfrac{1}{n}, 1\}$, tenemos: $U(f,P_n)-L(f,P_n)= \dfrac{1}{n}\left(\dfrac{1}{n}-0\right)+0\left(1-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n}\right)+1\left(1-\left(1-\dfrac{1}{n}\right)\right)- 0= \dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}< \dfrac{2}{n}< \epsilon$. Por lo tanto $f$ es Riemann integrable en $[0,1]\Rightarrow \displaystyle \int_{0}^1 f(x)dx = \displaystyle \lim_{n\to \infty} U(f,P_n) = \displaystyle \lim_{n\to \infty} \left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2} \right)= 0$.

Answer 2

Ha $0 \le f \le \bar{f}$ donde

$$ \bar{f}(x) = \begin{cases} 1, & \text{if %#%#% } \\ 0, & \text{else} \end{casos}$$

La integral de Riemann de $x=\frac{1}{n}, \ \ n=1, 2,3 ,\cdots$ es igual a $\bar{f}$, por lo tanto $0$ integral de Riemann es también igual a $f$.

Para demostrar que considerar el paso de las funciones de $$ \bar{f_p}(x) = \begin{cases} 1, & \text{if %#%#% } \\ 1, & \text{if %#%#% } \\ 0, & \text{else} \end{casos}$$

Para todos los $0$ $x \in (\frac{1}{n}-\frac{1}{2^p n(n+1)},\frac{1}{n}+\frac{1}{2^p n(n+1)}) \cap [0,1] \ \ n=1, 2, \dots ,p$$x \in [0,\frac{1}{p+1})$$p \ge 1$$

Como el lado derecho es la convergencia de a$$0 \le f \le \bar{f} \le \bar{f_p}$$ and $, por lo que se hace.

Answer 3

Para cualquier partición $\;P=\{x_i\}_{i=1}^n\;$ $\;[0,1]\;$ definir $\;K_P:=\{ 1\le i\le n\;:\;\;\exists\,\frac1m\in[x_{i-1},x_i]\}\;$.

Entonces para cualquier de los puntos de $\;c_i\in[x_{i-1},x_i]\;$,$${}$$

$$\sum_{i=1}^n f(c_i)(x_i-x_{i-1})=\begin{cases}\sum\limits_{k\in K_P} (x_k-x_{k-1}),\,&\text{if}\;\;c_k=\frac1m\in[x_{i-1},x_i]\;\text{for some}\;i\\{}\\0,\,\text{otherwise}\end{cases}$$

Para la integral de existir el límite de la anterior suma al $\;n\to\infty\;$ $\;\text{mesh_P}:=\max_i(x_i-x_{i-1})\to 0\;$ deben existe finitely sin tener que depender de los puntos de $\;c_i\;$ elegido, y desde

$$0\le\sum_{k\in K_P}(x_k-x_{k-1})\le|K_P|\text{mesh_P}\longrightarrow0$$

la integral existe y su valor es cero.