Simétrica y antisimétrica poderes de SU(2) representaciones

Question

Recientemente, hice un curso en teoría de la representación en el Imperial College, y en la primera tarea de las preguntas eran sobre ciertos sneaky relaciones cuando llegó a las representaciones de SU(2).

Indica el $n/2$-representación de SU(2) [ $n$ ], se nos pidió que encontrar la relación entre el$\text{Sym}^{k} ([n])$$\text{Sym}^{n} ([k])$. En las preguntas anteriores habíamos demostrado, entre otras cosas, que el$\text{Sym}^{2} ([n])=\text{Sym}^{n} ([2])$$\text{Sym}^{3} ([4])=\text{Sym}^{4} ([3])$. Entonces pensé, "Ah, nos quieren mostrar $\text{Sym}^{k} ([n]) = \text{Sym}^{n} ([k])$! Bien, esto debería ser fácil!"

Pensé que iba a tomar la mitad de una hora en la mayoría, que probablemente hubo algunos combinatoria fórmula de ahí que me permitió demostrar que lo es, pero después de cinco horas de trabajo, tuve que admitir la derrota. Al día siguiente, lo tengo que admitir me había derrotado a la TA, y le pedí que me mostrara la prueba real de la materia, porque ahora estaba muy interesado en verlo. Ella estaba un poco desconcertado que me las había arreglado para pasar 5 horas en el problema, y me dijo que todo lo que se esperaba era para mostrar que la dimensión de $\text{Sym}^{k} ([n])$ equivalía a la dimensión de $\text{Sym}^{n} ([k])$ (que es bastante trivial demostrar, como las conferencias nos había dado la derivación de la dimensionalidad de la fórmula de cualquier simétrica poder de SU(2)), y a partir de ese inferir que $\text{Sym}^{k} ([n]) = \text{Sym}^{n} ([k])$.

Esta respuesta me pareció bastante insatisfactorio, y así me puse a tratar de encontrar la prueba formal. Mis búsquedas en internet no arrojó ningún resultado, y no puedo encontrar probado en ningún libros de texto de matemáticas. Actualmente estoy tratando de ir a través de anillos de la teoría y la teoría de la representación en el mío propio, pero no puedo ver el final de mi búsqueda todavía.

En consecuencia, ahora soy atractivo para las damas y caballeros en línea para ayudar en el asunto, ya que cuanto más aprendo, más difícil parece a mí para demostrar que

$\text{Sym}^{k} ([n]) = \text{Sym}^{n} ([k])$.

Answer 1

Esta identificación se llama Hermite reciprocidad, y me resulta bastante misterioso. Es un caso especial de un problema más general llamado plethysm, que me parece muy misterioso.

Aquí es una prueba. Si $V$ denota que la definición de $2$-dimensiones de la representación de $SU(2)$, permítanme escribir el deseado isomorfismo como

$$S^n S^m V \cong S^m S^n V.$$

Para mostrar que dos representaciones de $SU(2)$ son isomorfos, es suficiente para demostrar que tienen el mismo carácter, o, equivalentemente, que tienen los mismos pesos. Si usted no está familiarizado con este término, "pesos" se refiere a la descomposición de la representación en virtud de la acción de la diagonal $U(1)$. Esta descomposición es especificado por un conjunto múltiple de los números enteros, donde el entero $n$ corresponde a la de una dimensión de la representación $z \mapsto z^n$$U(1)$. Por ejemplo, el peso de la representación irreducible $S^n V$ de la dimensión de $n + 1$$-n, -n+2, \dots n-2, n$.

Dado el peso de una representación $W$, los pesos de los simétrica de potencia $S^n W$ corresponden a multisets de tamaño $n$ en los pesos de los $W$. Así que la pregunta es la prueba de exhibición de peso-la preservación de bijection entre multisets de tamaño $n$ en los enteros $-m, -m-2, \dots m-2, m$ y multisets de tamaño $m$ en los enteros $-n, -n+2, \dots n-2, n$.

Será mucho más fácil hacer esto después de normalizar un poco. En primer lugar, agregue $m$ a todos los enteros en el primer conjunto múltiple de pesos, y agregar $n$ a todos los enteros en el segundo conjunto múltiple de pesos. Esto tiene el efecto de desplazar el total correspondiente a los pesos por $nm$, por lo que no afectan a la estructura del problema. Del mismo modo, podemos dividir todas las ponderaciones por $2$.

Ahora queremos que presentan un peso preservar bijection entre multisets de tamaño $n$ en los enteros $0, 1, 2, \dots m$ y multisets de tamaño $m$ en los enteros $0, 1, 2 \dots n$. Pero esto es bastante simple: ambos corresponden a Jóvenes diagramas de montaje en un $n \times m$ cuadro, donde consigue el primer tipo de conjunto múltiple mirando las longitudes de las filas y el segundo tipo de conjunto múltiple mirando las longitudes de las columnas (o tal vez al revés; lo que ocurra). En ambas interpretaciones, el peso total es el número total de cajas, por lo que este es un peso que preserva bijection como se desee.

(Bastante misterioso, como ya he dicho. La generación de la función de conteo de esos Jóvenes diagramas basados en el número total de cajas es el q-coeficiente binomial ${n+m \choose n}_q$. Yo no tengo ninguna explicación conceptual de lo que se está haciendo aquí.)