Pruébalo: $2005|\underbrace{5 5\cdots 5}_{800\text{ digits}}$

Question

$2005=5\cdot 401$

Divisibilidad por $5$ se deduce del último dígito de $\underbrace{5 5\cdots 5}_{800\text{ digits}}$ .

Cómo demostrar la divisibilidad por $401$ ?

Answer 1

Su número es $5\left(\dfrac{10^{800} - 1}{9} \right)$

$401$ es un número primo $\implies 10^{400} \equiv 1 \pmod{401} \implies 10^{800} \equiv 1 \pmod{40}$

$\implies 5\left( \dfrac{10^{800} - 1}{9} \right) \equiv 0 \pmod{401}$