$\mathbb{R}$ - Álgebras en espacios topológicos

Question

I´m leer una introducción a $\mathbb{R}$-álgebra y en el texto que es una observación que dice:

Si $X$ es un espacio topológico, entonces el conjunto de funciones $f : X \to \mathbb{R}$ son un $\mathbb{R}$ - álgebra y que las funciones continuas son una bajoálgebra del último espacio.

¿Cómo puedo demostrarlo?.

Answer 1

Sólo tienes que mostrar que $Hom(X,\mathbb{R})$ satisface todas las condiciones para ser un $\mathbb{R}$-álgebra. $f,g$ Da la adición de dos mapas da $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ $x\in X$ % todo $(f.g)(x)=f(x).g(x)$, multiplicación y multiplicación escalar viene dado por $(r.f)(x)=r.(f(x))$. De esto es fácil ver que la función de cero está dada por $0(x)=0$ % todo $x\in X$y la función de unidad es dada por $1(x)=1$ % todos $x\in X$.

Su trabajo es mostrar que está todo bien definido y satisface los axiomas necesarios de una asociativa $\mathbb{R}$-álgebra.