¿La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal?

Question

¿Es la inversa de una matriz ortogonal una matriz ortogonal? Sé que su inversa es igual a su transposición, pero no veo de dónde vendría la ortogonalidad.

Answer 1

Si $A^t = A^{-1}$ Entonces, tomando los inversos de ambos lados, tenemos $(A^{t})^{-1} = A = (A^t)^t$ .

Answer 2

Si $Q$ es ortogonal, es decir $QQ^T = I = Q^TQ$ entonces $Q^T Q^{TT} = Q^TQ = I = QQ^T = Q^{TT}Q^T$ . Así que, $Q^T$ es ortogonal. Porque $Q^{-1} = Q^T$ Basta con comprobarlo. Y ya está.

Answer 3

Si $(\ ,\ )$ es un producto interno sobre ${\bf R}^n$ , entonces una matriz $A$ es ortogonal si $$ (Ax,Ax)=(x,x),\ \forall x\in {\bf R}^n $$

Tenga en cuenta que $A$ no tiene núcleo. Por lo tanto, cualquier $x$ tiene $y$ con $$ Ay=x$$

Entonces $$ (A^{-1}x,A^{-1}x)= (A^{-1}Ay,A^{-1}Ay)=(y,y)=(Ax,Ax)=(x,x)$$

Por lo tanto, $A^{-1}$ es ortogonal.