misma variable por diferentes cuantificadores

Question

En el estudio de lógica de primer orden, me he encontrado con esta frase:

$\exists x\, P(x)\land\exists x\, R(x)$

¿Si hay un $x$ tal que $P(x)$, y hay algunos $y$ tal que $R(y)$, es esto cierto de la frase? ¿Son el dos $x$ diferentes? Pido disculpas por preguntar algo tan simple, pero mi libro no es clara en esto y una búsqueda no dio vuelta para arriba cualquier duda lo suficientemente similar para poder evitar preguntar.

Answer 1

Sí a tu primera pregunta y sí a la segunda. Estamos hablando de la existencia de algo tal que $P(\text{that something}),$ y la existencia de algo más tan que $R(\text{something else}).$ la fórmula es equivalente a $\exists x P(x)\land \exists yR(y)$

Si, por el contrario, tenemos $\exists x \Big(P(x) \land R(x)\Big)$, entonces estaríamos hablando de sobre algunos $x$ tal que ambos % son verdaderos para que $P(x)$ $R(x)$y $x$.