Encontrar un tal x^a*sin(1/x) es uniformemente continua.

Question

Suponiendo que es continuo en $\sin x$, que $\mathbb R$ encontrar todo real $\alpha$ tal que $x^\alpha\sin (1/x)$ es uniformemente continua en el intervalo abierto (0,1).

Supongo que necesito demostrar que $x^\alpha\sin x$ es continuamente prolongable a [0,1]. $x=1$ Es bastante trivial, pero tengo problemas para hacer $x=0$. Creo que el $\lim_{x\to 0}x^\alpha\sin (1/x)=0$, pero ¿cómo puede encontrar qué $f(0)$ es igual a?

Agradecería cualquier orientación. Gracias por tu ayuda de antemano.

Answer 1

Estás en el camino correcto. Si usted puede mostrar que puede ampliarse continuamente que $f_\alpha(x) = x^\alpha \sin(1/x)$ $[0,1]$, haya terminado. Mostraremos que $\lim_{x \to 0} f_\alpha(x)$ existe exactamente para $\alpha > 0$ (como en este caso es 0). Significa que para $\alpha > 0$, la definición de $f_\alpha(0) := 0$ es $f_\alpha\colon [0,1]\to \mathbb R$ continuo, por lo tanto uniformemente (como $[0,1]$ es compacto). Si $\alpha > 0$, tenemos $$|f_\alpha(x)| \le x^\alpha \cdot |\sin(1/x)|\le x^\alpha \to 0, \quad x \to 0 $ $ si $\alpha \le 0$, considera $x_n = 1/(\pi/2 + n\pi)$, entonces el $x_n \to 0$, pero no convergen$$ f_\alpha(x_n) = (\pi/2+ n\pi)^{|\alpha|} (-1)^n y este $n \to \infty$.

Por lo tanto, es uniformemente continua en $f_\alpha$iff $(0,1)$ $\alpha > 0$.