¿Un significado riguroso de "medida inducida"?

Question

En mis lecturas me encuentro a menudo con términos como "medida inducida" o "medida de Lebesgue inducida". Por ejemplo:

$$\int_{\mathbb{B}^n}u\frac{\partial v}{\partial x_j}\;dx = \int_{\mathbb{S}^{n-1}}uv\frac{x_j}{|x|}\;d\sigma - \int_{\mathbb{B}^n}v\frac{\partial u}{\partial x_j}\;dx$$ donde $d\sigma$ denota el medida de Lebesgue inducida en la esfera.

Sin embargo, por desgracia, nunca he visto a nadie dar una definición rigurosa a esta frase. Claro, en el ejemplo anterior, entendemos cómo parametrizar el $n$ pelota, $\mathbb{B}^n$ y el $n-1$ esfera, $\mathbb{S}^{n-1}$ y, por tanto, las integrales son fáciles de calcular y no muy confusas. Sin embargo, a veces aparece en el contexto de una hipersuperficie general en $\mathbb{R}^n$ (decir $\Sigma$ con integrales que implican $d\Sigma$ ), o cuando se integra sobre un subconjunto (submanifold) de algún espacio de mayor dimensión.

En un entorno completamente general como éste, estoy un poco perdido cuando se trata de entender cómo se definen realmente estas medidas "superficiales" o "inducidas" por separado, cuando me falta una parametrización explícita.

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Tampoco ayuda el hecho de que las clases tradicionales de cálculo vectorial parezcan no hacer nada más allá de las 3 dimensiones. Por ejemplo, nunca he visto una clase en la que se enseñe a los alumnos a realizar una integral de superficie (bidimensional) en algo que no sea $\mathbb{R}^3$ por lo que no tendrían ni idea de cómo encontrar la superficie de, por ejemplo, un Clifford Torus en $\mathbb{R}^4$ .

Y en general, nunca he visto que aborden una técnica general de integración sobre un $n$ -cuerpo dimensional, incrustado en $n<m$ -espacio dimensional. Parece que todo lo que se les enseña es en términos del producto cruzado, que no sirve para nada en $\mathbb{R}^{n>3}$ .

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Ahora me doy cuenta de que al menos algunos de los ejemplos de hipersuperficies del cálculo, que he mencionado anteriormente, pueden abordarse utilizando el teorema de Stokes generalizado: $\int_{D}\text{d}\omega = \int_{\partial D}\omega$ . Pero me parece que cuando llegamos al ámbito de la teoría de la medida, el análisis de alto nivel y la geometría de Riemann, la palabra "inducida" se lanza probablemente por una buena razón. Permítanme aclarar lo que quiero decir:

• Si nos encontramos en una variedad riemanniana $M$ , entonces su métrica $g$ define un elemento de volumen para el colector, $dV_g = \sqrt{\det g}\;dV$ , donde $dV$ es la medida euclidiana para su parche de coordenadas en $\mathbb{R}^n$ . Si consideramos entonces una submanifold inmersa $N\hookrightarrow M$ tenemos una definición rigurosa para el métrica inducida que $N$ hereda de $M$ .
• Si tenemos un espacio topológico $(X,\tau)$ entonces induce una topología de subespacio en cualquier subconjunto $Y\subset X$ , $\tau_Y = \{Y\cap U : U\in\tau\}$ . Del mismo modo, para cualquier subconjunto $Y\subset X$ de un $\sigma$ -Álgebra $(X,\Sigma)$ tenemos el sub- $\sigma$ -Álgebra $(Y,\Sigma_Y), \Sigma_Y = \{Y\cap A : A\in\Sigma\}$ .

En estos escenarios, la palabra " inducido " tiene un significado muy específico, y esencialmente se reduce a la idea de que un subconjunto hereda algún tipo de propiedad de un conjunto mayor al que pertenece. Así que tendría sentido que hubiera alguna forma concreta de tener un medir el espacio inducir algún tipo de medida sobre un subconjunto de sí mismo.

A primera vista, dado que un espacio de medida $(X,\Sigma,\mu)$ puede dar lugar a un sub- $\sigma$ -(como se mencionó anteriormente), entonces es posible que desee simplemente tomar la restricción de $\mu$ a estos subconjuntos en $\Sigma_Y$ . Pero el problema es que cualquier subconjunto $E$ sin dimensión completa, tendrá, por supuesto, medida cero, $\mu(E)=0$ . Así que esto sería una forma pésima de definir la integración sobre este subconjunto.

Así que tal vez sólo nos preocupemos por las variedades riemannianas, y sólo definamos la medida inducida como el que surge de la métrica inducida de algún colector principal. Pero esto parece limitante por un par de razones:

1. La integración se limita ahora a las variedades riemannianas, y ya no sobre un espacio de medidas general. Por ejemplo, mientras que la integración con respecto a la medida de recuento tiene sentido sobre $\mathbb{N}$ No veo ninguna manera de interpretar esto como una integración sobre una variedad riemanniana; y por lo tanto la pregunta de cómo la medida de conteo "induce" otra medida no tendría sentido.
2. Si consideramos un subconjunto (suave) $S\subset\mathbb{R}^n$ podemos construir un espacio de medidas sobre $S$ desde cero, de forma similar a como construimos la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$ en la teoría de la medida. Mi pregunta entonces es: ¿podemos siempre realizar la integración (con respecto a esta medida) sobre $S$ como integración con respecto a alguna métrica inducida, considerando $S\subset M$ para alguna variedad $(M,g)$ ?

Para mí, una medida (y cualquier cosa que induzca) debería estar en el espíritu de los conjuntos medibles, y no estar restringida a los colectores diferenciales. La medida de Lebesgue $\mu$ en $\mathbb{R}^3$ nos da el volumen de la bola unitaria como $\frac{4}{3}\pi$ no debería $\mu$ inducir una medida sobre $\mathbb{S}^2$ para darnos $4\pi$ ¿superficie? Y sea cual sea el método que elijamos, ¿no debería aplicarse también a las medidas abstractas, no sólo a la medida de Lebesgue?

Answer 1

La palabra "inducido" no siempre se refiere a "un subconjunto que hereda algún tipo de propiedad de un conjunto mayor al que pertenece". También se refiere a un tipo de estructura que define otro tipo de estructura en el mismo conjunto. Ejemplos:

• norma inducida por un producto interno
• métrica inducida por una norma
• topología inducida por una métrica

Todos ellos pueden referirse al mismo conjunto subyacente, por ejemplo $\mathbb{R}^n$ .

En el contexto de su cita al principio, yo interpretaría "inducido" como en

medida inducida por la métrica de Riemann [mediante la forma de volumen].

Aquí es un ejemplo de uso de MathOverflow.

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Pero si quiere inducir la medida en $S^2$ procedente del espacio ambiental $\mathbb{R}^3$ Puedo sugerir algunos enfoques:

1. Considere la Medida de Hausdorff $\mathcal H^2$ en $\mathbb{R}^3$ . Su restricción a $S^2$ es la medida de la superficie.

2. Dado $A\subset S^2$ , definen la [parte superior] Contenido de Minkowski de $A$ como $$m^*(A) = \limsup_{r\to 0} \frac{\mu(A_r)}{2r}\quad \text{where } A_r=\{x\in\mathbb{R}^3 : \operatorname{dist} (x,A)\le r\} $$ Para los conjuntos bonitos, esto es lo mismo que la superficie; por desgracia, para los conjuntos más feos, la aditividad contable falla. Además, la $\limsup$ y $\liminf$ son diferentes en general.

3. Solucionar el problema de la subaditividad en #2 definiendo la medida de empaquetamiento [superior] de $A$ como $$\inf\left\{ \sum_{j\in\mathbb{N}} m^*(A_j) : \bigcup_{j\in\mathbb{N}} A_j = A\right\}$$ Es una definición fea, pero tiene incorporada la subaditividad contable. Como la medida resultante es invariante bajo isometrías de $S^2$ En realidad, se trata de la superficie.