Cohomología de $\mathcal O(k)$

Question

Estoy leyendo un artículo en el que se afirma que $H^1(\mathcal O(-k),\mathcal O)=0$ , donde $k\geqslant 1$ . Además, el argumento también requiere que $H^2(\mathcal O(-k),\mathcal O)=0$ .

Aquí $\mathcal O(-k)$ se refiere al haz de líneas sobre $\mathbb CP^1$ con la primera clase de Chern $-k$ y estoy asumiendo que $\mathcal O$ se refiere a la gavilla de estructura en el espacio total de $\mathcal O(-k)$ , $\operatorname{Tot}(\mathcal O(-k))$ .

¿Existe una forma fácil de ver esta afirmación?

Editar. Creo que $\mathcal O(-k)$ puede ser cubierto por dos conjuntos abiertos con intersección acíclica, de modo que $H^2(\mathcal O(-k),\mathcal F)=0$ para cualquier coordenada. Mi pregunta sobre $H^1$ restos.

Answer 1

Primero quiero mostrar el principio de cómo calcular $H^1(X, \mathscr O)$ con X el espacio total de $\mathscr O_{\mathbb P^1}(n)$ : El principio es aplicar la expansión de Laurent.

De ahí que considere el caso $n=0$ . Aquí $X = \mathbb P^1 \times \mathbb C$ . Considere la cobertura estándar de $\mathbb P^1$ por $U_0 := \{(z_0:z_1) \in \mathbb P^1: z_0 \neq 0 \}$ y $U_1 := \{(z_0:z_1) \in \mathbb P^1: z_1 \neq 0 \}$ . Denote por $t$ la coordenada compleja de la fibra $\mathbb C$ .

Utilizamos $\check C$ ecohomología y emplear el recubrimiento a-cíclico $(U_0 \times \mathbb C, U_1 \times \mathbb C )$ . Cualquier cociclo $f_{01}((z_0: z_1),t)$ en $(U_0 \cap U_1) \times \mathbb C$ tiene la expansión de Laurent con respecto a $\frac {z_1}{z_0}$

$$f_{01}((z_0: z_1),t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k(t)(\frac {z_1}{z_0})^k$$

Se descompone en forma de cofia $f_{01} = f_0 - f_1$ con

$$f_0((z_0: z_1),t) := \sum_{k=0}^{\infty}a_k(t)(\frac {z_1}{z_0})^k$$

$$f_1((z_0: z_1),t) := -\sum_{k=-\infty}^{-1}a_k(t)(\frac {z_1}{z_0})^k = -\sum_{k=1}^{\infty}a_k(t)(\frac {z_0}{z_1})^k.$$

Por lo tanto, $H^1(X, \mathscr O) = 0$ .

En segundo lugar, considero el caso general $\mathscr O_{\mathbb P^1}(n), -n \in \mathbb N,$ de su pregunta. El haz de líneas se trivializa en $U_0$ con la coordenada de la fibra $t \in \mathbb C$ y en $U_1$ con la coordenada de la fibra $\tau \in \mathbb C$ . Además, tiene la función de transición $g_{01}(z_0:z_1) = (\frac {z_1}{z_0})^n$ . Cualquier cociclo $f_{01}((z_0: z_1),t)$ en $(U_0 \cap U_1) \times \mathbb C$ tiene la expansión de Laurent con respecto a $\frac {z_1}{z_0}$

$$f_{01}((z_0: z_1),t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k(t)(\frac {z_1}{z_0})^k = \sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k(g_{01}(z_0:z_1)*\tau )(\frac {z_1}{z_0})^k.$$

Se descompone en forma de cofia $f_{01} = f_0 - f_1$ con

$$f_0((z_0: z_1),t) := \sum_{k=0}^{\infty}a_k(t)(\frac {z_1}{z_0})^k$$

$$f_1((z_0: z_1),\tau) := -\sum_{k=-\infty}^{-1}a_k(g_{01}(z_1:z_0)*\tau )(\frac {z_1}{z_0})^k = -\sum_{k=1}^{\infty}a_k((\frac {z_1}{z_0})^n*\tau )(\frac {z_0}{z_1})^k, n \leq 0.$$

Por lo tanto, $H^1(X, \mathscr O) = 0, n \leq 0$ , q.e.d.