Problema de Divisor de Olimpiada de matemáticas

Question

La suma de los divisores positivos más pequeños dos de un entero $N$ es $6$, mientras que la suma de los divisores positivos más grande dos de $N$ $1122$. Encontrar $N$.

Me encontré con esta pregunta en un concurso de la Olimpiada de matemáticas. Soy capaz de averiguar que los dos divisores positivos más pequeños sería $1$ $5$ pero después de eso, no estoy seguro cómo trabajar leyendo para saber el valor de $N$. ¿Puede alguien ayudarme? Gracias.

Answer 1

Sugerencia: Son de los dos divisores positivos mayor de $N$ $N$ y $N/5$.

Answer 2

Gracias a los consejos de lhf, ahora soy capaz de resolver:

Divisores positivos más pequeños: 1 y 5 mayor divisores positivos: $N$ y $N/5$.

Básicamente: $N$ $+$ $N/5$ = 1122

$6N$ = 5610

$N$ = 935

Answer 3

Sugerencia $ $ El conjunto de factores de $\,N\,$ disfrutar de un cofactor de la involución (reflexión) $\ k\mapsto k' = N/k,\,$ $\,N = k\,k'.\,$ Esto le da un emparejamiento de $\,k\,$ con su cofactor $\,k' = N/k.\,$ Es el fin de revertir $\, j < k\,\Rightarrow\, N/j > N/k,\,$, por lo que los pares de al menos factor de $\,k_1$ con el mayor $\,N/k_1;\,$ 2ª menos $\,k_2$ con el 2º mayor $\,N/k_2,\,$ etc.

Por lo tanto el mínimo factor de $\,k_1 = 1$ pares con el mayor $\,N/1 = N.\ $ El 2º menos factor de $\,k_2$ es el menos principal factor de $\,p\,$ (más algunos de los mejores $\,q\mid k_2\mid n,\,$ $\,q\le k_2< p,\,$ contra leastness de $\,p).$ por lo Tanto, esta 2ª menos factor de $\,k_2 =p\,$ parejas con $\,N/p =\,$ 2º factor más importante. El resto es sencillo.

Answer 4

Vamos $$ N=p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}, p_i>p_{i+1} $$ ser la descomposición canónica de la número entero $N.$ Los dos primeros más pequeños divisores son $1$$p_1$. El más grande de dos divisores se $p_1^{k_1-1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}$$p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}$. Así obtenemos el siguiente sistema de $$ 1+p_1=6\\ p_1^{k_1-1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}+p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}=1122 $$ A partir de la primera ecuación obtenemos que $p_1=5.$ Reescribir la segunda $$ p_1^{k_1-1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}+p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}=p_1^{k_1-1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}(1+p_1)=6p_1^{k_1-1}p_2^{k_2}\cdots p_n^{k_n}=1122. $$ En el último $$ N=p_1 \frac{1122}{6}=935. $$