Procesos de Poisson y tirones de la moneda

Question

En el momento $0$, una moneda que cae en la cabeza con una probabilidad de $p$ es volteado y tierras en la cabeza. A veces elegido con un proceso de Poisson de tasa de $\lambda$, la moneda se volcó de nuevo. ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda está en su cabeza al tiempo $t$?

Nota: Flip significa que tirar la moneda de nuevo.

Estoy teniendo problemas con el análisis de esta pregunta, pero es que además no sé cómo me gustaría solucionarlo de alguna manera me pongo a pensar.

Estoy renovando el proceso de Poisson cada vez que le doy la vuelta? Como en, flip, generar Poisson número aleatorio, voltear de nuevo, generar Veneno de números aleatorios, voltear de nuevo, etc.

O es el número generado por el proceso de Poisson el intervalo de tiempo entre lanzamientos?

Y de cualquier forma, ¿cómo puedo solucionarlo?

Answer 1

$$N\sim\mathrm{Poisson}(\lambda t).$$

$$ \Pr( N\text{ es aún}) = e^{-\lambda t} \sum_{n=0}^\infty \frac{(\lambda t)^{2n}}{(2n)!}= e^{-\lambda t}\cosh(\lambda t)\a\frac 1 2\text{ como }t\to\infty. $$

OK, yo erróneamente la palabra "volteado" (ver comentario abajo). Y también me trataban como una "feria" de la moneda anterior. Voy a editar más, menos yo no.

Definición de "flip" en el más sentido de lo habitual (no sólo girando la moneda boca abajo de forma manual, pero aleatoriamente obtener "cara" o "cruz"), el problema es más sencillo: La probabilidad condicional de a dado $N>0$$p$, y la probabilidad condicional de a dado $N=0$$1$. Así, obtenemos $$ 1\cdot\Pr(N=0) + p \Pr(N>0) = e^{-\lambda t} + p (1-e^{-\lambda t}) = (1-p)e^{-\lambda t} + p\p\text{ como }t\to\infty. $$

El proceso es, de hecho, renovada en cada flip, pero lo que de generar de forma aleatoria en cada renovación es el exponencialmente distribuidos de tiempo $T$ hasta la siguiente renovación, la satisfacción de $$ \Pr(T>t) = \Pr(N= 0) = e^{-\lambda t} $$ desde el evento de $T>t$ es el mismo que el caso de $N=0$ (es decir, no sólo las probabilidades, pero los hechos son los mismos, en el sentido de que cualquiera de estos eventos se produce si y sólo si el otro no). Aquí estoy interpretando $N$ como el número de actualizaciones posteriores entre el momento de la renovación y que el tiempo y la $t$.

Answer 2

Deje $A_t$ ser la abreviatura de "Algo es verdadero en el tiempo $t$". En su caso, $A_t$ es "la moneda muestra la cabeza al tiempo $t$". A continuación, el método para resolver es:

\begin{align} P(A_t) &= \sum_{N = 0}^{\infty} P(A_t \mid N \text{ events have occurred by time }t)\cdot P(N \text{ events have occurred by time }t) \\ &= \sum_{N = 0}^{\infty} P(A_t \mid N \text{ events have occurred by time }t) \cdot e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{N}}{N!}\end{align}

[En su caso, sin embargo, el problema es mucho más simple: Si la moneda es cara o no sólo depende de la más reciente flip. No depende de cuántos lanzamientos se han producido. Así que la respuesta es, simplemente,$p$.]

EDIT: Esto es falso: Al $N = 0$ tenemos $P(A_t \mid N) = 1$ como se menciona a continuación. De otro modo se $p$. Por lo que la probabilidad es:

$$P(A_t) = e^{-\lambda t} + \sum_{N = 1}^{\infty}p \cdot e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^{N}}{N!} = e^{-\lambda t} + p(1 - e^{-\lambda t})$$