¿Prueba $2^{1092}-1$ es divisible por $1093^2$?

Question

Me gustaría una prueba que $2^{1092}-1$ es divisible por $1093^2$. Puedo probar que es divisible por $1093$ Fermat ($1093$ es una privilegiada) o Euler. Sin embargo estoy seguro que vamos a tener que mirar más cosas a este. También probé a escribir binario $1093$ $10001000101$ y ver si tiene múltiplos de unos, pero que no funcionaba bien. Muchas gracias.

Saludos.

Answer 1

Gracias a la ayuda de Daniel Fischer y otros en el chat tengo ahora una solución viable por un procedimiento conocido como potenciación por cuadratura:

$2^{17}= 131072\leadsto (2^{17})^2= 2^{34} \equiv 816564\equiv -378085 \leadsto$

$(2^{34})^2=2^{68}\equiv 1042817\equiv -151832 \leadsto$

$(2^{68})^2=2^{136}\equiv 1009120\equiv -185529 \leadsto$

$(2^{136})^2=2^{272}\equiv 782853 \leadsto$

$2^{272}\cdot 2=2^{273} \equiv 371057 \leadsto$

$(2^{273})^2=2^{546}\equiv 1194648\equiv-1 \leadsto$

$(2^{546})^2=2^{1092}\equiv 1 \bmod 1093^2$. Como deseado.