$K(x,y)$ continua en $S=[0,1]\times[0,1]$ y $\phi \in C([0,1])$, definir $T\phi$ $[0,1]$ $T\phi(x)=\int_0^xK(x,y)\phi(y)dy,~~x\in[0,1].$

Question

Deje $K(x,y)$ ser continua en $S=[0,1]\times[0,1]$$\phi \in C([0,1])$, definir $T\phi$ $[0,1]$ por $$T\phi(x)=\int_0^xK(x,y)\phi(y)dy,~~x\in[0,1].$$

(a) Mostrar que $T\phi \in C([0,1])$

(b) Mostrar que el $T$ es continua.

(C) Si $\{\phi_n\}_{n=1}^\infty$ es un almacén de secuencia en $C([0,1]),$ mostrar que la secuencia de $\{T\phi_n\}_{n=1}^\infty$ tiene un convergentes larga.

Mi intento:

(a) Por supuesto, tenemos que $K(x,y)$ es uniformemente continua. Por eso, $\exists~\delta>0$ s.t. $|K(x,y)-K(x',y')|<\frac{\epsilon}{1+\|\phi\|}$ siempre $\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}<0$.

$|\int_0^xK(x,y)\phi(y)~dy-\int_0^z K(z,y)\phi(y)~dy| \\ \leq |\int_0^z K(x,y)\phi(y)~dy-\int_0^z K(z,y)\phi(y)~dy +\int_z^x K(x,y)\phi(y)~dy| \\ \leq |\int_0^z (K(x,y)-K(z,y))\phi(y)~dy~| + |\int_z^xK(x,y)\phi(y)~dy| \\ \leq \|\phi\|\frac{\epsilon}{1+\|\phi\|}+|\int_z^xK(x,y)\phi(y)~dy|$

Cómo estimar este plazo $|\int_z^xK(x,y)\phi(y)~dy|$ ?

(b) $|\int_0^x K(x,y)\phi(y)~dy|\leq \int_0^1 |K(x,y)\phi(y)|~dy \\ \Rightarrow \|T\phi\|=\displaystyle\sup_{x\in[0,1]}|\int_0^x K(x,y)\phi(y)~dy|\leq \|K\|\cdot\|\phi\|=C\|\phi\|~~~(C=\|K\|)$

Por eso,$\|T\phi_1-T\phi_2\|=\|T(\phi_1-\phi_2)\| \leq C\|\phi_1-\phi_2\|$$\phi_1,\phi_2 \in C([0,1])$. Por eso, $T$ es continua.

(c) no tengo ni idea sobre este problema. Tal vez debería mostrar que $\{T\phi_n\}_{n=1}^\infty$ es equicontinuous. Sé el teorema de que si $\{T\phi_n\}_{n=1}^\infty$ es pointwise delimitada y equicontinuous en $K$, $\{T\phi_n\}_{n=1}^\infty$ contiene un uniformemente convergente subsequece.

Answer 1

Para la parte $(a)$, usted puede encontrar un enlace para$\left|\int_z^xK(x,y)\phi(y)~dy\right|$, utilizando la siguiente: Para $x<z$ hemos \begin{align} \left|\int_z^xK(x,y)\phi(y)~dy\right|&\leq\int_x^z\left|K(x,y)\phi(y)\right|\ dy\\ &\leq|z-x|\cdot\|\phi\|_{C([0,1])}\cdot\sup_{y\in[x,z]}|K(x,y)|\\ &\leq|z-x|\cdot\|\phi\|_{C([0,1])}\cdot\|K\|_{C([0,1]^2)} \end{align}

El mismo límite se puede obtener por $z<x$ (sólo swap $x$ $z$ cuando proceda).

Para la parte (c), usted está en el camino correcto pensar en el Arzela-Ascoli teorema. Desde $\{\phi_n\}$ es un almacén de secuencia y $T$ es continua, $\{T\phi_n\}$ es (uniformemente) delimitado. Para mostrar que está equicontinuous, para $x_1,x_2\in[0,1]$ $x_1<x_2$ $n\in\mathbb N$ hemos \begin{align} |T\phi_n(x_1)-T\phi_n(x_2)|&=\left|\int_0^{x_1}K(x_1,y)\phi_n(y)\ dy-\int_0^{x_2}K(x_2,y)\phi_n(y)\ dy\right|\\ &=\left|\int_0^{x_1}K(x_1,y)\phi_n(y)\ dy-\int_0^{x_1}K(x_2,y)\phi_n(y)\ dy-\int_{x_1}^{x_2}K(x_2,y)\phi_n(y)\ dy\right|\\ &\leq\int_0^{x_1}|K(x_1,y)-K(x_2,y)||\phi_n(y)|\ dy+\int_{x_1}^{x_2}|K(x_2,y)||\phi_n(y)|\ dy\\ &\leq\int_0^1|K(x_1,y)-K(x_2,y)||\phi_n(y)|\ dy+|x_2-x_1|\|\phi_n\|_{C([0,1])}\|K\|_{C([0,1]^2])}\\ &\leq\|\phi_n\|_{C([0,1])}\left(\sup_{y\in[0,1]}|K(x_1,y)-K(x_2,y)|\right)+|x_2-x_1|\|\phi_n\|_{C([0,1])}\|K\|_{C([0,1]^2])}. \end{align} Desde $\{\phi_n\}$ es acotado, existe $M>0$ tal que $\|\phi_n\|_{C([0,1])}\leq M$ todos los $n$. Por lo tanto, hemos $$|T\phi_n(x_1)-T\phi_n(x_2)|\leq M\left[\left(\sup_{y\in[0,1]}|K(x_1,y)-K(x_2,y)|\right)+|x_2-x_1|\cdot\|K\|_{C([0,1]^2])}\right].$$ Ahora, usted tiene el control sobre $|x_2-x_1|$, y el uso de la continuidad de $K$, se puede obtener un enlace para $\sup_{y\in[0,1]}|K(x_1,y)-K(x_2,y)|$.