Órbitas de grupos algebraicos (dimensión de los componentes conectados)

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad algebraica con grupo algebraico $G$ actuando sobre ella. Dejemos que $x\in X$ . Estoy tratando de demostrar que todos los componentes conectados de la órbita $Gx$ son de dimensión $\dim G - \dim G_x$ , donde $G_x = \{g\in G\,\,|\,\,gx=x\}$ .

Gracias de antemano.

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Lemma que creo que tengo que usar:

Dejemos que $\pi:X\rightarrow Y$ sea un morfismo dominante, es decir $\overline{\pi(X)} = Y$ . Entonces cualquier componente irreducible de una fibra $\pi^{-1}(y)$ , donde $y\in Y$ tiene una dimensión de al menos $\dim X - \dim Y$ . Además, existe algún subconjunto abierto no vacío $O\subseteq Y$ tal que $\dim\pi^{-1}(O) = \dim X -\dim Y$ .

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Algunos progresos:

He demostrado que $Gx$ es una subvariedad localmente cerrada. Es la imagen del morfismo $\phi_x:G\rightarrow X$ donde $g\mapsto gx$ y, por tanto, una unión de conjuntos localmente cerrados. Por lo tanto, contiene un subconjunto $U$ que es denso y abierto en $\overline{Gx}$ . Dado que el conjunto GU = $\bigcap_{g\in G} gU$ está contenida en $Gx$ pero invariante bajo $G$ tenemos $Gx = GU$ que está abierto en $\overline{Gx}$ .

El problema es que no estoy muy seguro de cuáles son las componentes conectadas, así que no sé a qué aplicar el lema.

Answer 1

Si $G$ es un grupo algebraico, entonces tiene un componente conectado $G^0$ que contiene el elemento de identidad $e\in G$ . Cualquier componente conectado $G'$ de $G$ es entonces alguna traducción de $G^0$ porque si $g\in G'$ entonces $g^{-1} G' = G^0$ Así que $G'=gG^0$ . En particular, todos los componentes conectados de $G$ tienen la misma dimensión. Sea $g_0:=e$ y $G=g_0G^0 \cup \cdots \cup g_r G^0$ sea la descomposición de $G$ en componentes irreducibles.

Entonces, $G.x = g_0G^0.x \cup \cdots \cup g_r G^0.x$ . Desde $g_i G^0.x$ es isomorfo a $g_j G^0.x$ para todos $i$ y $j$ todos estos conjuntos son isomorfos a $G^0.x=g_0G^0.x$ que es una variedad irreducible. En consecuencia, cada una de las $g_iG^0.x$ es un componente irreducible de $G.x$ .

Por lo tanto, sólo tiene que mostrar la declaración para conectado grupos algebraicos. En otras palabras, asumimos $G^0=G$ y demostramos que $\dim(G.x)=\dim(G)-\dim(G_x)$ . Si sabes que $G.x\cong G/G_x$ Entonces deberías poder terminar ahora porque $\phi_x^{-1}(g.x)=gG_xg^{-1}\cong G_x$ para que todas las fibras tengan la misma dimensión.