Aquí hay alguna información adicional que muestra los dos binomio expresiones tienen diferente tipo. Podemos transformar tanto las identidades de manera que los diferentes tipo se convierte en algo más evidente. Empezamos con un look en el segundo binomio identidad.
Segundo binomio identidad:
\begin{align*}
\sum_{k=0}^n\binom{n-k}{m}\binom{r+k}{s}=\binom{n+r+1}{m+s+1}\qquad\qquad n,m\geq 0, s\geq r\geq 0
\end{align*}
Desde $\binom{n-k}{m}=0$ si $n-k<m$ el límite superior de la suma efectivamente es $n-m$ y obtenemos
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n-m}\binom{n-k}{m}\binom{r+k}{s}=\binom{n+r+1}{m+s+1}\qquad\qquad n,m\geq 0, s\geq r\geq 0
\end{align*}
Se introduce un nuevo parámetro de $t$ $s=r+t$ y la condición de $s\geq r\geq 0$ es transformado a $r,t\geq 0$.
Se obtiene finalmente
\begin{align*}
\sum_{k=t}^{n-m}\binom{n-k}{m}\binom{r+k}{r\color{blue}{+t}}=\binom{n+r+1}{m+r+t+1}\qquad\qquad n,m,r,t\geq 0\tag{1}
\end{align*}
Nota, el límite inferior de la suma comienza con $k=t$, ya que de lo contrario $r+k<r+t$$\binom{r+k}{r+t}=0$.
Primer binomio expresión:
Con el fin de obtener una representación que está tan cerca como sea posible (1) sustituimos en la primera expresión binomial $n-1$ $n$ y sustituimos $j-1$$m$. Obtenemos
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n}\binom {n-k}{j-1} \binom {r+k}{r-j}
&=\sum_{k=0}^{n}\binom {n-k}{m} \binom {r+k}{r-(m+1)}\\
\end{align*}
Aquí se puede apretar el límite superior como hicimos en (1), pero no podemos apretar el límite inferior, ya que $r+k\geq r-(m+1)$$k\geq 0$.
Obtenemos
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n-m}\binom {n-k}{m} \binom {r+k}{r\color{blue}{-(m+1)}}\qquad\qquad n,m,r\geq 0\tag{2}
\end{align*}
Conclusión:
Mientras el rango de $n,m$ $r$ es igual en ambas expresiones (1) y (2) el rango de $t\geq 0$ (1) corresponde al rango de $-(m+1)<0$.
La no-negatividad de $t$ y la negatividad de $-(m+1)$ es un conflicto, que no puede ser corregido. Así, el binomio expresiones son de diferente tipo.
El binomio de expresión en (1) ha $n-m-t+1$ sumandos, mientras que la expresión en (2) $n-m+1$ sumandos.
