Cada grupo como grupo de simetría completo de puntos en $\mathbb R^d$

Question

¿Todo grupo finito $G$ tienen la propiedad de que es isomorfo a un grupo de simetría completo de algún conjunto de puntos en $\mathbb R^n$ para algunos $n$

Answer 1

Sí. La construcción no es delicado, sólo tienes que hacer algo que es tan genérica como sea posible mientras que todavía se tiene $G$-simetría. Fácilmente podría ser posible hacer algo más inteligente y más corto que lo que voy a hacer, pero quiero hacer hincapié en que todos los que yo voy a hacer a continuación es para hacer cumplir genericity en lo que me parece la forma más obvia de conseguir el argumento para trabajar en cada paso.

Comience con cualquier fieles ortogonal representación lineal de $G$ en un verdadero producto interior espacio de $V = \mathbb{R}^n$ que no contiene trivial subrepresentation. Un buen ejemplo para visualizar es la acción de la cíclico grupo $C_k, k \ge 3$ orden $k$ $\mathbb{R}^2$ por la rotación debido a la más obvia versión de esta construcción no funcionará en este caso; si usted acaba de elegir un vector y de actuar sobre ella se va a producir diedro de simetría, y todo el trabajo que voy a hacer está orientada a evitar que este tipo de cosas. En general, usted puede tomar la acción de $G$ sobre el conjunto de funciones

$$\left\{ f : G \to \mathbb{R} \mid \sum_{g \in G} f(g) = 0 \right\}.$$

Elija una colección de puntos de $R$ $V$ cuyas propiedades se especifican más adelante. Vamos a tomar nuestro conjunto de puntos que tienen la forma

$$GR = \bigcup_{g \in G} gR.$$

Por construcción, el grupo de isometría sin duda contiene $G$. El juego es averiguar lo que debemos pedir a de $R$ para el grupo de isometría de $GR$ a ser exactamente $G$.

Así, supongamos $\varphi : V \to V$ es algo de isometría de $GR$. Para empezar, nos gustaría garantía de $\varphi(0) = 0$. Esto está garantizado si el "centro de masa" de $GR$$0$, que es a su vez garantizado si $\sum_{g \in G} g$ hechos por $0$$V$. Pero esto es equivalente a la condición de que $V$ no tiene trivial subrepresentations.

Ahora elija un punto de $r_0 \in R$. Nos gustaría garantía de $\varphi(r_0) = g r_0$ algunos $g \in G$. Podemos hacer esto por que requieran

Propiedad 1: Cada punto en $R$ tiene una única distancia desde el origen.

A continuación, los únicos puntos en $GR$ la misma distancia desde el origen como $r_0$ son los puntos de $g r_0, r \in G$, lo $\varphi(r_0)$ debe ser de tal punto.

Elegir algún otro punto de $r_1 \in R$. Nos gustaría garantía de $\varphi(r_1) = g r_1$ para el mismo $g \in G$ anterior. Para ello vamos a exigir

Propiedad 2: Hay algunas constantes $D$ de manera tal que cualquiera de los dos puntos en $R$ son de menos de $D$ apart, sino cualquier punto en $R$ es mayor que $D$ distancia desde cualquier punto en $gR, g \neq e$.

Ahora, desde la $d(\varphi(r_1), \varphi(r_0)) = d(r_1, r_0) < D$, se deduce que el $\varphi(r_1)$ debe estar en la misma copia de$gR$$R$$r_0$. A fuerza de $\varphi(r_1) = g r_1$, requeriremos

Propiedad 3: Cada punto en $R$ tiene una única distancia de cada punto en el $R$.

Esta forma única de las fuerzas de $\varphi(r_1) = g r_1$ como se desee. Desde $r_1$ fue arbitraria, hemos demostrado que $\varphi(r) = gr$ por cada $r \in R$. Nos gustaría concluir de esto que el $\varphi = g$. Desde $\varphi$ es una isometría de fijación el origen, que es lineal, y por lo que para garantizar este es suficiente para requerir

Propiedad 4: Los vectores en $R$ span $V$.

Cada una de las propiedades que hemos pedido es garantizada por la siguiente construcción. Decir que un vector $v \in V$ es genérico si su estabilizador bajo la acción de $G$ es la identidad. Dado que la acción de $G$ $V$ es fiel, el subconjunto de los no-genérico vectores en $V$ es finito, de la unión de subespacios de estrictamente menor dimensión, y por lo tanto, un vector es genérica, con una probabilidad de $1$.

Si $v$ es un vector genérico, vamos a $2D$ ser la distancia mínima entre el $v$ y cualquier $gv, g \neq e$, y tome $R$ a ser un azar conjunto finito de, al menos, $\dim V$ de los puntos de los que son estrictamente menor que $\frac{D}{2}$$v$. Esto satisface todas las propiedades anteriores con una probabilidad de $1$, así que hemos terminado.

Ejemplo. Tome $G = C_k, k \ge 3$ actuando en $V = \mathbb{R}^2$ por rotación. Si tomamos $R$ a un único vector distinto de cero obtenemos algo con diedro de simetría (Propiedad 4 no está satisfecho). Pero podemos corregir esto mediante la selección de $R$ a ser de un par de vectores muy cerca, junto con los diferentes distancias desde el origen.