Real polinomios con $P(x^3-2)=P(x)^3-2$

Question

Encontrar todos los polinomios $P(x)$ tal que $P(x^3-2)=P(x)^3-2$.

Claramente $P(x)=x$ obras. Si $P(x)=ax+b$ es lineal,$P(x^3-2)=ax^3-2a+b$$P(x)^3-2=a^3x^3+3a^2bx^2+3ab^2x+b^3-2$, lo $ab=0$$a^3=a$$-2a+b=b^3-2$.

Si $b=0$, luego de la última ecuación implica que $a=1$.

Si $a=0$, luego de la última ecuación implica que $b^3-b-2=0$, que tiene una raíz real y produce una constante de la solución.

Answer 1

Esta no es una respuesta, pero estoy publicando para mostrar por qué quieres seguir el enlace y el uso de las sugerencias que hay, en comparación con la cantidad de dolor que ataca este el método de la fuerza bruta daría (así como en realidad no va a ninguna parte.....)

Vamos a ver...tomar un polinomio arbitrario, $$f(x)=\sum _{i=0}^na_ix^i $$ y ver donde podemos conectar en términos

$$f(x^3-2)=\sum _{i=0}^na_i(x^3-2)^i=\sum _{i=0}^na_i\big(\sum _{j=0}^i\big (\overset i j\big)x^j(-2)^{i-j}\big)$$ mientras que $$f(x)^3-2=f(x)=\big(\sum _{i=0}^na_ix^i\big)^3-2=\sum_{\sum_{k=o}^nm_k=3}\frac {3!}{\prod_{j=0}^nm_j!}\prod_{l=0}^n(a_lx)^{m_k}-2$$, el último tomado de la multinomial teorema (http://www.trans4mind.com/personal_development/mathematics/series/multiNomialTheorem.htm)

Puesto que el poder es 3, voy a reescribir ese desordenado ecuación que en realidad es sólo decir la suma de las potencias es de 3 en partes donde tenemos un poder único de 3, una potencia de 2 y una potencia de 1, y 3 potencias de 1

Al hacerlo, obtenemos $$f(x)^3-2=\sum _{k=0}^n(a_kx^k)^3+\sum _{k=0}^n\prod_{i\ne k \text {from} 0}^n3(a_kx^k)^2a_ix^i+\sum_{i,j,k \text {all different,}=0}^n6a_ia_ja_kx^{i+j+k}-2$$

De este modo, en el término constante, en el lado izquierdo, la equiparación de la mano izquierda a la mano derecha, obtenemos $$\sum_{i=0}^n a_i(-2)^i=a_0^3-2$$, Atacar a la palabra, de nuevo en el lado izquierdo a la IZQUIERDA, obtenemos $$a_n^3=a_n^3$$, lo que nos lleva a ningún lado.

Acerca de 3 oraciones atrás, me di cuenta de que el vínculo incluyendo las soluciones, así que me detuve aquí...pero yo pensaba que la posteridad sería servida por publicar esto para mostrar que la fuerza bruta no es el mejor enfoque :)

Answer 2

Esto no es una respuesta completa, pero espero que el siguiente resultado será de ayuda. Este resultado garantiza existe exactamente una solución para polinomios de grado que es una potencia de $3$. Si uno puede demostrar que no existe ninguna solución para polinomios con grado no un poder de $3$, en el conjunto de la prueba puede ser completado.

Lema: Si $P(x)$ $Q(x)$ tiene el mismo grado y $P(x^3-2)=P(x)^3-2$$Q(x^3-2)=Q(x)^3-2$$P(x)=Q(x)$.

Deje $P(x)=\Sigma_0^n a_ix^i$ y deje $Q(x)=\Sigma_0^nb_ix^i$.

A continuación,$P(x^3-2)-Q(x^3-2)=P(x)^3-Q(x)^3$.

Caso Base: considerar el coeficiente de $x^{3n}$ en ambos lados, izquierda ha $a_n-b_n$ y en el lateral derecho ha ${a_n}^3-{b_n}^3$$a_n-b_n=(a_n-b_n)({a_n}^2+a_nb_n+{b_n}^2)\implies a_n=b_n$.

Ahora supongamos $a_i=b_i$ todos los $i=n,n-1,n-2,...,k$. Nos fijamos en el caso de $a_{k-1}$$b_{k-1}$.

Primero de todo el poder de $x$ que no es un múltiplo de a $3$ en el lado izquierdo es obviamente $0$. Ahora nos fijamos en el coeficiente de $x^{3k-3}$ en el lado izquierdo. Por el teorema del binomio de expansión es igual a ${k-1\choose 0}(a_{k-1}-b_{k-1})+{k\choose 1}(a_k-b_k)+{k+1\choose2}(a_{k+1}-b_{k+1})+...+{n\choose n-k-1}(a_n-b_n)$.

Por nuestra hipótesis de inducción todos los términos excepto el primer término es $0$, por lo que es igual a ${k-1\choose 0}(a_{k-1}-b_{k-1})$.

Supongamos $a_{k-1}-b_{k-1}\neq 0$, entonces el lado izquierdo tiene un grado $3k-3$

Ahora del lado derecho es $P(x)^3-Q(x)^3=(P(x)-Q(x))(P(x)^2+P(x)Q(x)+Q(x)^2)$ tiene el grado $(k-1)+2n=2n+k-1\geq 3k-1>3k-3$ contradicción.

Por lo tanto $a_{k-1}=b_{k-1}$ y por inducción, todos hemos $a_i=b_i$ y, por tanto,$P(x)=Q(x)$.