Considere la posibilidad de la acción de la $S_4$ en un cubo, donde actúa por permuting el largo de las diagonales. Las clases conjugacy de $S_4$ se denota por $id$, (12), (123), (1234) y (12)(34). Quiero saber el número de caras, vértices y aristas de cada uno de los elementos (12), (123), (1234) y (12)(34) revisión. Por ejemplo, (12) y (123) revisión no presenciales y (1234) correcciones 2. Creo (12)(34) también no soluciona una cara. ¿Es así? Y por favor alguien puede enumerar el número de vértices y aristas de cada uno de estos elementos de revisión. Estoy teniendo problemas para imaginar el permuation de las diagonales.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Angel
Puntos
616
Tenga en cuenta que cada permutación de $S_4$ actúa como una rotación del cubo. Por lo que es útil considerar los tipos de rotaciones de un cubo puede tener. El tipo más fácil de visualizar es la rotación sobre el centro de dos caras opuestas. Hay 3 posibles ejes de rotación, y 4 rotaciones sobre cada eje (con la identidad, o nula rotación compartida por todos). Eso es 10 rotaciones, de las cuales 6 son de orden 4 (y por lo tanto corresponden a 4 ciclos), y 3 de la orden 2. Todos los de este tipo de la rotación de la revisión 2 caras, pero no los bordes o vértices. Ahora hay dos tipos de elementos de $S_4$ a de orden 2, transposiciones y el doble de transposiciones. Transposiciones dejar dos diagonales principales fijo, mientras que este tipo de rotación (180 grados alrededor de un eje a través del centro de las caras opuestas) swaps de diagonales en pares, por lo que estos 3 rotaciones corresponden a la doble transposiciones.
Hay dos tipos de rotaciones que son difíciles de visualizar: a lo largo de un eje que va desde el punto medio de los lados opuestos, y rotaciones sobre uno de los largo de las diagonales del mismo. El último tipo es de orden 3, y así debe corresponder a los 3-ciclos. Un poco de experimentación con un verdadero cubo se muestra una rotación de las correcciones de 2 vértices, sin rostros y sin bordes. Esto representa más de 8 rotaciones.
La única cosa a la izquierda, a continuación, son las rotaciones sobre los puntos medios de dos lados opuestos, que por lo tanto debe corresponder a las transposiciones. Estos arreglar la par de dichos bordes, pero no se enfrenta, ni vértices.
GmonC
Puntos
114
Primero de todo, la pregunta no es muy bien especificado, porque no se $2^3\times 3!=48$ simetrías del cubo y sólo $24$ permutaciones de sus diagonales, por lo que cada permutación corresponde a dos diferentes tipos de simetrías. Así que para obtener una acción de $S_4$ usted debe elegir un subgrupo de las simetrías que realiza cada permutación exactamente una vez. De hecho hay dos subgrupos, pero la elección más natural es tomar la orientación de la preservación de las simetrías, los que tienen determinante$~1$ (en lugar de$~{-}1$).
Entonces, creo que es más fácil de cambiar el punto de vista: se centran en una sola cara/borde/vertex y encontrar la orientación de la preservación de las simetrías que solucionarlo, y ver lo que las permutaciones de las diagonales estos dan. Si las permutaciones todos tienen un ciclo diferente tipo que la especificada permutación, entonces que permutación va a solucionar sin cara/borde/vértice; por otro lado, si algunos de permutación tiene el derecho tipo de ciclo, entonces usted tiene al menos uno de los fijos de la cara/borde/vértice, y es bastante fácil de ver si te son de otros.
Concretamente, la fijación de una cara, hay $4$ orientación-la preservación de las simetrías que corrige: la identidad (que tiene un tipo de ciclo $(1,1,1,1)$), un cuarto de vuelta hacia el centro de la cara (tipo de ciclo $(4)$ en las diagonales, desde todos los rincones de la cara es diferente de la diagonal), y su segunda y tercera potencias (ciclo de los tipos de $(2,2)$$(4)$). Así que entre la no-identidad permutaciones usted en la lista, sólo $(1234)$ $(12)(34)$ revisión de todas las caras (el último, de una forma más natural, conjugado a considerar sería la $(1234)^2=(13)(24)$) y fix dos caras opuestas. (Para $(12)(34)$ esto contradice la suposición en su pregunta.) Para un borde sólo hay dos de la orientación de la preservación de las simetrías que solucionarlo, la no-identidad de uno de los cuales (de nuevo la rotación alrededor de un eje a través de su centro) da el tipo de ciclo $(2,1,1)$ en las diagonales. Así que aquí sólo se $(12)$ corrige los bordes, y se corrige dos opuestas. El vértice caso es similar: el tipo de ciclo es $(3,1)$ $(123)$ corrige los vértices y corrige dos opuestas.
CodingBytes
Puntos
102
Es más fácil el estudio de los diferentes "tipos" de rotación de un cubo, y para comprobar lo que hacen en el espacio de las diagonales. Por lo tanto, vamos a $C:=[{-1},1]^3$ ser nuestro cubo, y deje $D$ el conjunto del espacio de las diagonales. Cualquier rotación $T$ $C$ induce una cierta permutación $\pi_T$$D$. La estructura del ciclo de $\pi_T$ sólo depende de la clase conjugacy de $T$. Al mismo tiempo, es mucho más fácil visualizar la inducida por las permutaciones de los vértices, aristas y caras de $C$ si $T$ está dado de antemano.
Hay cinco clases conjugacy de rotaciones de $C$:
${\rm id}:\quad$ La Identidad.
$A:\quad$ Rotación alrededor de un eje de coordenadas sobre un ángulo de $\pm{\pi\over2}$. Dicha rotación cíclica permutes los vértices de la cara superior de $C$ y por lo tanto permutes $D$ cíclicamente. La estructura del ciclo de $\pi_T$$(1,2,3,4)$.
$A^2:\quad$ Rotación alrededor de un eje de coordenadas sobre un ángulo de $\pm\pi$. La estructura del ciclo de $\pi_T$ es entonces la plaza de la antigua, es decir, $(1,2)(3,4)$.
$B:\quad$ Rotación alrededor de un eje a través de los puntos medios de dos lados opuestos sobre un ángulo de $\pm\pi$. Dicha rotación cambia el espacio de las diagonales a través de los puntos finales de los elegidos, de los bordes y mantiene a los otros dos el espacio de las diagonales fijo (pero invierte su dirección). De ello se deduce que la estructura del ciclo de $\pi_T$$(12)$.
$C:\quad$ Rotación alrededor de un espacio en diagonal sobre un ángulo de $\pm{2\pi\over3}$. Esta rotación no puede dejar otro espacio de dirección fija; por lo tanto, $\pi_T$ necesariamente tiene un ciclo de longitud $3$. Su ciclo de estructura es, a continuación,$(1,2,3)$.
Así se ha puesto de manifiesto que cada clase conjugacy de ${\cal S}_4$ se realiza en el conjunto de las permutaciones de $D$ inducida por las rotaciones de $C$.
