Dejemos que $G$ sea un grupo y que $G'$ sea el subgrupo derivado, definido como el subgrupo generado por los conmutadores de $G$ .
¿Hay algún ejemplo de grupo finito $G$ donde no todos los elementos de $G'$ ¿es un conmutador? $G'$ sólo se genera mediante conmutadores, pero con todas las propiedades de los conmutadores (es decir, lo que ocurre bajo conjugación, exponenciación, etc) no se me ocurre ningún ejemplo.
Para cualquier primo $p$ y $n>1$ hay grupos nilpotentes $G$ de la clase 2 y el orden $p^{n(n+1)/2}$ con generadores $a_i$ $(1 \le i \le n)$ , $b_{ij}$ $(1 \le i < j \le n)$ , de tal manera que $[a_i,a_j] = b_{ij}$ El $b_{ij}$ son todos centrales en el grupo, y todos los generadores tienen orden $p$ .
Entonces $G'$ es el grupo de orden $p^{n(n-1)/2}$ generado por el $b_{ij}$ .
En cualquier grupo, tenemos $[ax,by] = [a,b]$ cuando $x,y$ son centrales en el grupo, por lo que $G$ tiene como máximo $p^{2n}$ elementos distintos que son conmutadores.
Por lo tanto, para cualquier $k>0$ eligiendo $n$ suficientemente grande podemos encontrar $G$ de manera que no todos los elementos de $G'$ son productos de como máximo $k$ conmutadores.
Para una buena fuente de ejemplos, véase
I. M. Isaacs: Commutators and the Commutator Subgroup. The American Mathematical Monthly. Vol. 84, No. 9 (Nov., 1977), pp. 720-722
que puede obtener de JSTOR .
Utilizando GAP encuentro que los dos ejemplos de orden 96, que es el mínimo posible, son los grupos generados por las siguientes dos listas de permutaciones sobre $32$ elementos.
[ (3,8,6)(4,7,5)(9,27,17)(10,28,18)(11,30,22)(12,29,21)(13,26,23)(14,25,24)(15,31,20)(16,32,19), (1,17,7,23)(2,18,8,24)(3,19,5,21)(4,20,6,22)(9,26,15,32)(10,25,16,31)(11,28,13,30)(12,27,14,29), (1,9,5,13)(2,10,6,14)(3,11,7,15)(4,12,8,16)(17,25,21,29)(18,26,22,30)(19,27,23,31)(20,28,24,32), (1,5)(2,6)(3,7)(4,8)(9,13)(10,14)(11,15)(12,16)(17,21)(18,22)(19,23)(20,24)(25,29)(26,30)(27,31)(28,32), (1,3)(2,4)(5,7)(6,8)(9,11)(10,12)(13,15)(14,16)(17,19)(18,20)(21,23)(22,24)(25,27)(26,28)(29,31)(30,32), (1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)(13,14)(15,16)(17,18)(19,20)(21,22)(23,24)(25,26)(27,28)(29,30)(31,32) ]
y
[ (3,7,5)(4,8,6)(9,25,17)(10,26,18)(11,31,21)(12,32,22)(13,27,23)(14,28,24)(15,29,19)(16,30,20), (1,17)(2,18)(3,19)(4,20)(5,21)(6,22)(7,23)(8,24)(9,25)(10,26)(11,27)(12,28)(13,29)(14,30)(15,31)(16,32), (1,9)(2,10)(3,11)(4,12)(5,13)(6,14)(7,15)(8,16)(17,25)(18,26)(19,27)(20,28)(21,29)(22,30)(23,31)(24,32), (1,5,2,6)(3,8,4,7)(9,13,10,14)(11,16,12,15)(17,21,18,22)(19,24,20,23)(25,29,26,30)(27,32,28,31), (1,3,2,4)(5,7,6,8)(9,11,10,12)(13,15,14,16)(17,19,18,20)(21,23,22,24)(25,27,26,28)(29,31,30,32), (1,2)(3,4)(5,6)(7,8)(9,10)(11,12)(13,14)(15,16)(17,18)(19,20)(21,22)(23,24)(25,26)(27,28)(29,30)(31,32) ]
Más tarde: He utilizado el siguiente código, muy sencillo, para encontrar los grupos
chk := function (g)
local comms, sub;
comms := Set(List(Cartesian(g, g), p -> p[1]*p[2]*p[1]^-1*p[2]^-1));
sub := Set(DerivedSubgroup(g));
return Size(comms) = Size(sub);
end;;
examples := AllSmallGroups(96, chk, false);Esto funciona porque recordé que había ejemplos de orden 96. Para obtener las representaciones de permutación que hice, por ejemplo,
GeneratorsOfGroup(Image(SmallerDegreePermutationRepresentation(Image(IsomorphismPermGroup(examples[1])))));
El ejemplo más "sencillo" es el grupo libre sobre dos generadores, pero quizás no sea el más fácil de jugar a menos que te sientas cómodo con los grupos libres.
Un buen estudio sobre el problema de los subgrupos conmutadores en grupos finitos es:
Los grupos más pequeños en los que el subgrupo de conmutadores no es igual al conjunto de conmutadores tienen orden 96; de hecho, hay dos grupos no isomorfos de orden 96 en los que el conjunto de conmutadores no es igual al subgrupo de conmutadores. (Este resultado también apareció en la tesis de Robert Guralnick de 1977, "Expressing group elements as products of commutators", UCLA).
Kappe también tiene un próximo documento conjunto en el que analiza la misma cuestión, restringida a $p$ -grupos.
Otro punto interesante es la Conjetura del Mineral, que afirmaba que si $G$ es un grupo simple no abeliano finito, entonces el conjunto de conmutadores es igual al subgrupo de conmutadores. Su demostración se ha completado recientemente, y aparece en:
¿Es la prueba de la conjetura de Ore una verificación basada en la clasificación? (Se puede enunciar la conjetura sin el "noabeliano" :) )
Keith Dennis también ha trabajado en este problema. En el documento:
Dennis, R. K.(1-CRNL); Vaserstein, L. N.(1-PAS) Conmutadores en grupos lineales. K-Theory 2 (1989), no. 6, 761-767.
consideran las condiciones bajo las cuales todos los elementos del subgrupo de conmutadores son productos de a lo sumo 2 conmutadores. Creo recordar que Dennis hizo cálculos por ordenador para encontrar el grupo más pequeño para el que el subgrupo de conmutadores contiene elementos que no son conmutadores (y mi recuerdo es que el tamaño del grupo era de unos 100 elementos) pero no puedo ver nada en línea sobre eso.
Un ejemplo explícito es $G = (V \times Q) \rtimes C$ donde $V=\langle \varepsilon \rangle \times \langle \varepsilon \rangle \cong C_2 \times C_2$ , $Q$ es el grupo de cuaterniones $Q_8=\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$ y $C_3 \cong C =\langle t \rangle$ actúa "en diagonal" sobre ambos $V$ y $Q$ . Actúa sobre $V$ para que $VC \cong A_4$ y actúa sobre $Q$ permutando cíclicamente $i,j,k$ : $i \to j \to k \to i$ de modo que $QC \cong SL(\mathbb{F}_3^2)$ .
Tenemos $|G|=96$ . Es un bonito ejercicio calcular la tabla de caracteres de $G$ que es de tamaño $12 \times 12$ . Si lo hace, se dará cuenta de que el elemento $x=((1,\varepsilon),-1) \in V \times Q = G'$ satsifica $\sum_{i=1}^{12} \chi_i(x)/\chi_i(1)=0$ por lo que no es un conmutador.
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