Grado de cierre de $\mathbb{Q}_p$

Question

Con el fin de demostrar que algebraicas cierre de $\mathbb{Q}_p$ es infinito, tomé el polinomio $x^n-p$ $n>1$ $\mathbb{Q}_p$ a mostrar que este eqaution no tiene ninguna solución para el infinito de los casos para obtener el resultado, pero quiero hacer una parte de la prueba precisa.

Es claro que $x^2-p$ no tiene solución en el campo, así que se acuestan $\sqrt{p}$ conseguir $\mathbb{Q}_p(\sqrt{p})$. Para potencias mayores de $n$, claramente $p^{1/n}$ no está contenido en $\mathbb{Q}_p$, pero ¿cómo podemos mostrar que $p^{1/n}$ no está contenida en las extensiones con menor $n$? Por ejemplo, ¿cómo podemos mostrar que $\sqrt[3]{p}\notin \mathbb{Q}_p(\sqrt{p})$?

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Addendum: La lectura Prof. Conrad comentario es útil para la discusión.

Answer 1

El $p$-ádico de valoración se extiende de manera única a cualquier finito extensión de $\mathbf Q_p$.

La observación de que $v_p(p^{1/n})=1/n$, lo $v_p(\mathbf Q_p(p^{1/n})^\times) = 1/n\cdot\mathbf Z$. En particular, el campo de $\mathbf Q_p(p^{1/n})$ no puede ser embebido en $\mathbf Q_p(p^{1/m})$ si $n|m$.

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Si lo que desea es mostrar que $\overline{\mathbf Q_p}$ no es finito $\mathbf Q_p$, luego Keenan del método es el más fácil. Pero hay una manera divertida de golpear esta simple afirmación muy duro con la teoría de la real campos cerrados. De acuerdo con un teorema, si $F$ no es algebraicamente cerrado, campo, cuya clausura algebraica $\overline{F}$ es finito$F$, $F$ es elementarily equivalente a los números reales. Desde $x^2-p$ se divide $\mathbf R$ pero no más de $\mathbf Q_p$, se deduce que el $\overline{\mathbf Q_p}/\mathbf Q_p$ es una extensión infinita!

Answer 2

Supongo que te refieres a que quieres mostrar el algebraicas cierre es de grado infinito sobre $\mathbf{Q}_p$. Es entonces suficiente para demostrar que $\mathbf{Q}_p$ admite finito extensiones de arbitrario de grado (si algebraica de cierre de $\mathbf{Q}_p$ tiene grado finito $n$, tenga en cuenta que contiene un número finito de extensión de grado mayor que $n$, una contradicción). Para esto es suficiente para observar que $x^n-p$ es irreducible sobre $\mathbf{Q}_p$ todos los $n\geq 1$ por el criterio de Eisenstein ($p$ es el primer en la UFD $\mathbf{Z}_p$).