El problema (esto no es una tarea problema, aunque no se siente como uno):
Supongamos que p y q son números primos tales que $p \vert q+1$ y p es impar. A continuación, todos los subgrupos de $GL_{2}(\mathbb{F}_{q})$ de orden p se conjugado el uno al otro.
Lo que sabemos hasta ahora:
Primero de todo, $\vert GL_{2}(\mathbb{F}_{q})\vert = q(q+1)(q-1)^2$.
Si $q=2$,$p=3$$\vert GL_{2}(\mathbb{F}_{q})\vert =6$. A continuación, el único subgrupo de orden $p$ es el único Sylow $3$-subgrupo. Por supuesto, este subgrupo es conjugado a sí mismo.
Por lo tanto, ahora nos fijamos en el caso de que $q$ es una extraña prime. Obviamente $p \nmid q(q-1)^2$. Pero, $p$ puede no ser la potencia más grande de $p$ dividiendo $q+1$. Así, los subgrupos de orden $p$ no son necesariamente Sylow $p$-subgrupos. Por supuesto, que debe ser conjugado a un subgrupo de Sylow $p$-subgrupo.
¿Cuál es la forma correcta de completar este argumento? Estoy esperando una respuesta que me empuja en la dirección correcta, sin dar todo por la borda (al menos por ahora).
Gracias por su tiempo. Mis disculpas por la pregunta muy básica.
Edit: Comprobar los comentarios de abajo de Derek sugerencia para una solución. Por favor, hágamelo saber si usted encuentra cualquier problema con mi argumento.
