¿Cuáles son los

Question

Estoy tratando de encontrar los subcampos de $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt[7]{5})$. Esto puede verse fácilmente a ser un grado $14$ extensión de $\mathbb{Q}$.

He encontrado que hay un único subcampo de grado $2$$\mathbb{Q}$. Si $E$ $F$ son distintos subcampos de grado $2$$\mathbb{Q}$, luego $$ [FE:\mathbb{Q}]=[FE:E][E:\mathbb{Q}]\leq[F:\mathbb{Q}][E:\mathbb{Q}]=4. $$ En particular, $[FE:E]\leq 2$. Desde $FE\neq E$, tengo que conseguir que se $[FE:E]=2$. Pero luego, ello implica $[FE:\mathbb{Q}]=4$, una contradicción ya que el $4\nmid 14$. Así que hay un subregistro de grado $2$$\mathbb{Q}$,$\mathbb{Q}(\sqrt{3})$.

La única parte de la izquierda es encontrar los subcampos de grado $7$$\mathbb{Q}$. Ciertamente, $\mathbb{Q}(\sqrt[7]{5})$ es uno, pero estoy teniendo problemas para encontrar si hay otros. Sé el Galois cierre de es $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt[7]{5},\zeta_7)$, ya que esta es una división de campo de la polinomio separable $(X^2-3)(X^7-5)$. A continuación, los subcampos serán los campos fijos de los subgrupos en el grupo de Galois que contiene el subgrupo de fijación $\mathbb{Q}(\sqrt{3},\sqrt[7]{5})$, pero esto parece computacionalmente difícil.

Hay una manera de hacerlo sin tener que mirar el grupo de Galois?

Answer 1

Deje $E=\mathbb{Q}(\sqrt[7]{5})$ y supongamos que usted tiene otro campo de $F$ de grado 7. A continuación,$[F(\sqrt[7]{5}):F][F:\mathbb{Q}]\leq 14$, por lo que debemos tener $[F(\sqrt[7]{5}):F]=2$. De ello se desprende que $\alpha=\sqrt[7]{5}$ cumple un polinomio irreducible de grado 2 sobre $F$. Ahora hay un hecho general que establece que si un polinomio $x^p-a$ es reducible a través de algunas de campo de F para algunos $p$ primo, entonces se tiene una raíz en F. Más precisamente, este polinomio es de la forma $(x-\zeta^i \alpha)(x-\zeta^j \alpha)=x^2 -(\zeta^i+\zeta^j)\alpha +\zeta^{i+j}\alpha^2$ donde $\zeta$ es una primitiva 7 de la raíz de la unidad y de la $0\leq i<j<7$ - esto es debido a que se divide $x^7-5=\prod_{i=1}^7 (x-\zeta^i \alpha)$.

Ahora tiene que $\zeta^{i+j}\alpha^2 \in F$, por lo que al tomar la 4ª potencia también tiene que $\zeta^{4i+4j}\alpha^8=5\zeta^{4i+4j}\alpha \in F$ y, por tanto,$\zeta^{4i+4j}\alpha \in F$. Ahora tenemos dos opciones - o $\zeta^{4i+4j}=1$ pero, a continuación,$E=F$, o es algo de primitivo 7 de la raíz de la unidad, que debe ser en $F(\alpha)$. Pero esto significa que $6\mid [F(\alpha):\mathbb{Q}]$ - contradicción.