Cómo demostrar a $\sum_{n=1}^\infty\operatorname{arccot}\frac{\sqrt[2^n]2+\cos\frac\pi{2^n}}{\sin\frac\pi{2^n}}=\operatorname{arccot}\frac{\ln2}\pi$?

Question

¿Cómo puedo demostrar la siguiente identidad? $$\sum_{n=1}^\infty\operatorname{arccot}\frac{\sqrt[2^n]2+\cos\frac\pi{2^n}}{\sin\frac\pi{2^n}}=\operatorname{arccot}\frac{\ln2}\pi$$

Answer 1

La reescritura de la suma como

$$\sum_{n=1}^{\infty} \arctan{\left [\frac{\sin{\left (\frac{\pi}{2^n}\right)}}{2^{2^{-n}}+\cos{\left (\frac{\pi}{2^n}\right)}}\right ]}$$

Ahora vamos a

$$a_n = \arctan{\left [\frac{\sin{\left (\frac{\pi}{2^n}\right)}}{2^{2^{-n}}-\cos{\left (\frac{\pi}{2^n}\right)}}\right ]}$$

Entonces se puede demostrar (no trivial!) que

$$a_n - a_{n-1} = \arctan{\left [\frac{\sin{\left (\frac{\pi}{2^n}\right)}}{2^{2^{-n}}+\cos{\left (\frac{\pi}{2^n}\right)}}\right ]}$$

así que tenemos una suma telescópica:

$$\sum_{n=1}^{\infty} (a_n-a_{n-1}) = a_{\infty}-a_0$$

donde

$$a_{\infty} = \lim_{n\to\infty} a_n $$

Ahora,

$$\frac{\sin{\left (\frac{\pi}{2^n}\right)}}{2^{2^{-n}}-\cos{\left (\frac{\pi}{2^n}\right)}} \sim \frac{\pi/2^n}{1+\frac{\log{2}}{2^n}-1} = \frac{\pi}{\log{2}}$$

Tenga en cuenta también que $a_0=0$. por lo tanto, la suma es simplemente

$$\arctan{\frac{\pi}{\log{2}}}$$

cual es el indicado resultado.

ANEXO

La integridad, voy a esbozar un par de pasos para demostrar cómo probar la diferencia de la ecuación de arriba. Empezar con la relación

$$\arctan{p}-\arctan{q} = \arctan{\frac{p-q}{1+p q}}$$

así que tenemos que trabajar con el siguiente argumento de la arcotangente:

$$\frac{\frac{\sin{\left (\frac{\pi}{2^n}\right)}}{2^{2^{-n}}+\cos{\left (\frac{\pi}{2^n}\right)}} - \frac{\sin{\left (\frac{2\pi}{2^n}\right)}}{2^{2^{1-n}}+\cos{\left (\frac{2\pi}{2^n}\right)}}}{1+\frac{\sin{\left (\frac{\pi}{2^n}\right)}}{2^{2^{-n}}+\cos{\left (\frac{\pi}{2^n}\right)}}\frac{\sin{\left (\frac{2\pi}{2^n}\right)}}{2^{2^{1-n}}+\cos{\left (\frac{2\pi}{2^n}\right)}}}$$

lo que simplifica un poco a

$$\frac{-2^{2^{n}} \sin \left(\pi 2^{1-n}\right)+2^{2^{1-n}} \sin \left(\pi 2^{n}\right)+\sin \left(\pi 2^{1-n}\right) \cos \left(\pi 2^{n}\right)-\pecado \left(\pi 2^{n}\right) \cos \left(\pi 2^{1-n}\right)}{2^{3\ 2^{-n}}+\sin \left(\pi 2^{1-n}\right) \sin \left(\pi 2^{n}\right)-2^{2^{n}} \cos \left(\pi 2^{1-n}\right)+\cos \left(\pi 2^{n}\right) \cos \left(\pi 2^{1-n}\right)-2^{2^{1-n}} \cos \left(\pi 2^{n}\right)}$$

Ahora usted puede mostrar que el numerador es igual a

$$\sin \left(\pi 2^{n}\right) \left(2^{2^{1-n}}-2^{2^{n}+1} \cos \left(\pi 2^{n}\right)+1\right)$$

y el denominador es igual a

$$2^{2^{-n}} \left(2^{2^{1-n}}-2^{2^{n}+1} \cos \left(\pi 2^{n}\right)+1\right)+\cos \left(\pi 2^{n}\right) \left(2^{2^{1-n}}-2^{2^{n}+1} \cos \left(\pi 2^{n}\right)+1\right)$$

La cancelación de los factores comunes en el numerador y el denominador produce el resultado deseado.